Authors: Li-Sheng Tseng and Shing-Tung Yau

Title: Cohomology and Hodge Theory on Symplectic Manifolds: I

J. Differential Geometry, Volume 91, Number 3 (July 2012)

http://www.intlpress.com/JDG/2012/JDG-v91.php

http://arxiv.org/abs/0909.5418v2

摘要

我们在辛流形上引入新的有限维上同调群. 这种上同调群具有 Lefschetz 分解, 并且在每个类中包含惟一的调和形式代表元. 相应于每个上同调的是纯粹通过原始微分形式空间所定义的原始意义的上同调. 我们将拉格朗日子流形及更一般的 co-isotropic 子流形的对偶 currents 与原始意义的上同调中的元素一一对应, 后者对偶于 co-isotropic chains 上的同调.

目录

1. 介绍

2. 预备知识

3. 辛上同调

4. Dual currents of submanifolds and primitive cohomology

5. 讨论

1. 介绍

Hodge 理论在黎曼几何和复几何中的重要性无需赘述. 但在辛意义下, 尽管辛 Hodge 理论这一概念在 1940s 就由 Ehresmann 和 Libermann 提出 [7,15], 并且 Brylinski [4] 在大约 20 年前重新引入, 它的可利用性受到相当的限制. 要写出辛伴随算子, 我们可以利用辛的星算子 $*_s$. $*_s$ 的定义类似于 Hodge 星算子, 但是是关于辛形式 $\omega$ 的, 而非关于度量的. 确切的, 在一个 $2n$-维辛流形 $(M,\omega)$ 上, 辛星算子按下面的方式作用在一个 $k$-形式上

\[
\begin{split}
A\wedge *_s A\'&=(\omega^{-1})^k(A,A\')d\text{vol}\\
&=\frac{1}{k!}(\omega^{-1})^{i_1 j_1}\cdots(\omega^{-1})^{i_k j_k}A_{i_1 i_2\ldots i_k}A\'_{j_1 j_2\ldots j_k}\frac{\omega^n}{n!}
\end{split}
\]

这里上下指标如果相同意味着对其求和(即采用 Einstein 求和约定). 标准外微分的伴随算子 $d^{\Lambda}:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-1}(M)$ 定义为

\[
d^{\Lambda}:=(-1)^{k+1}*_s d *_s
\]

一个微分形式被称为“辛调和形式”(symplectic harmonic), 如果它既是 $d$-闭的, 又是 $d^\Lambda$-闭的.

至于此种形式的存在性, Mathieu 在 [17] 中证明了:

对于辛流形 $M^{2n}$, 每个 de Rham 上同调群 $H_d^*(M)$ 中的类包含一个辛调和形式当且仅当辛流形 $M$ 满足强 Lefschetz 性质(strong Lefschetz property), 即对每个 $k\leqslant n$, 映射

\[
H_d^k(M)\rightarrow H_d^{2n-k}(M),\quad A\mapsto [\omega]^{n-k}\wedge A
\]

是一个同构.

正如所表示的, 既是 $d$-闭 又是 $d^\Lambda$-闭的微分形式空间缺乏某种类似于调和形式的内在的性质. 对于辛调和形式的存在性, 我们希望对于任意辛流形, 在它的每个上同调类中都存在辛调和形式. 但是 Mathieu 定理告诉我们 de Rham 上同调的所有类中辛调和形式的存在要求辛流形满足强 Lefschetz 性质. 遗憾的是, 许多已知的非 Kahler 的辛流形不满足强 Lefschetz 性质. 我们也期盼类似于调和形式在 de Rham 上同调中的惟一性, 辛调和形式在每个 de Rham 上同调类中也是惟一的, 但考虑这样一个例子: $\alpha$ 是 $d$-恰当的 1-形式, 如 $\alpha=df$. 当然它们是 $d$-闭的. 而且容易证明 $\alpha$ 也是 $d^\Lambda$-闭的. 事实上,
\[
\begin{split}
d^\Lambda \alpha&=(-1)^{1+1}*_s d *_s df\\
&=*_s d *_s df
\end{split}
\]
 

利用 $d^\Lambda=-d^*$, $d^*=d\circ i(G)-i(G)\circ d$, 以及 $L^*=i(G)$, 可证明 $d^\Lambda df=0$. (这个以后再补充, 详细可参见问题1017)

既是 $d$-闭又是 $d^\Lambda$-闭的形式, 即辛调和形式, 其惟一性在 de Rham 上同调类中不会发生. 这两方面, 辛调和形式的存在性和惟一性问题, 指明了当考虑辛 Hodge 理论时, de Rham 上同调或许并不是最恰当的上同调. 但若不是 de Rham 上同调, 在辛流形上有什么其他的上同调呢?

在本文中, 对于紧致辛流形, 我们引进并分析新的上同调. 在寻找新的上同调的过程中, 一个简单的方法是从 $d$-闭和 $d^\Lambda$-闭的要求出发, 通过改装出一些额外的恰当形式来试图获得惟一性. 记住性质
\[
d^2=(d^\Lambda)^2=0
\]
以及辛拉普拉斯算子(symplectic Laplacian) $dd^\Lambda+d^\Lambda d$ 是零, 即有下面的反交换性
\[
dd^\Lambda=-d^\Lambda d,
\]
我们在辛流形 $(M,\omega)$ 的微分形式空间 $\Omega^*(M)$上考虑如下的上同调
\[
H_{d+d^\Lambda}^{k}(M)=\frac{\ker(d+d^\Lambda)\cap\Omega^k(M)}{\text{im}dd^\Lambda\cap\Omega^k(M)},
\]
注意到在 $\Omega^k(M)$ 中有
\[
\ker d\cap\ker d^\Lambda=\ker(d+d^\Lambda)
\]

从概念上讲, 在写下这样一个上同调时, 我们已经将 $d^\Lambda$ 这个伴随算子的起源放在了脑后, 而只是将 $d^\Lambda$ 作为一个独立的微分算子来对待. 因此, 我们选取的这个记号 $d^\Lambda$, 与更通用的表示伴随算子的 $\delta$ 符号是有区别的.

根据椭圆理论的论述, 我们应证明对于紧致辛流形 $M$, $H_{d+d^\Lambda}^{k}(M)$ 事实上是有限维的. 而且根据上同调 $H_{d+d^\Lambda}^{k}(M)$ 的构造, 它在辛变换之下是不变的. 因此它是一个好的辛上同调, 用来表示整体不变量.
 

至于调和形式的概念, 我们将按标准的黎曼几何的方式来定义, 也就是利用 Hodge 星算子(它要求有度量). 在任意辛流形 $(M,\omega)$ 上, 都有一个相容的三元组 $(\omega, J, g)$, 它们分别是辛形式, 近复结构和黎曼度量. 依靠这个相容的黎曼度量, 我们可以定义 Hodge 星算子. 对于这里的上同调, 我们将要求辛调和形式不仅满足 $d$-闭和 $d^\Lambda$-闭, 而且还额外满足是 $(dd^\Lambda)^*=(-1)^{k+1}*(dd^\Lambda)*$-闭的. 这样在每个上同调 $H_{d+d^\Lambda}^{k}(M)$ 的类中我们将构造出惟一的辛调和形式.

吸引人的是, 上同调 $H_{d+d^\Lambda}^*(M)$ 有不少有趣的性质. 我们将看到, it commutes with the Lefschetz\'s decomposition of forms, 从而对于所有辛流形, 关于上同调 $H_{d+d^\Lambda}^*(M)$ 的 Lefschetz 性质是成立的, 而不是对于 de Rham 上同调 $H_d^*(M)$.

如果辛流形的 de Rham 上同调群 $H_d^k(M)$ 满足强 Lefschetz 性质(即等价于满足 $dd^\Lambda$-引理), 则 $H_{d+d\Lambda}^k(M)$ 同构于 $H_d^k(M)$.

介绍

1. $\Omega^*(M)$ 上的算子

设 $\Omega^*(M)$ 为 $M^{2m}$ 上微分形式构成的空间. 我们选取一个 $2m$-形式 $v_M=\frac{\omega^m}{m!}$ 作为辛流形 $(M^{2m},\omega)$ 的体积形式.

我们定义(辛)-星算子为:
\[
*:\ \Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{2m-k}(M),\quad\forall\ 0\leqslant k\leqslant 2m,
\]
且满足
\[
\beta\wedge *\alpha=\wedge^k(G)(\beta,\alpha)v_M,\quad\forall\ \alpha,\beta\in\Omega^k(M),
\]
其中 $G$ 是与 $\omega$ 对偶的反对称二阶张量场(skew-symmetric bivector field). 容易验证 $**=\text{Id}$.

在典范局部坐标系下,

\[
\omega=dp_1\wedge dq_1+\cdots+dp_m\wedge dq_m,
\]

\[
G=\frac{\partial}{\partial q_1}\wedge\frac{\partial}{\partial p_1}+\cdots+\frac{\partial}{\partial q_m}\wedge\frac{\partial}{\partial p_m}.
\]

容易验证:
\[
\wedge^k(G)=k!\sum_{i_1 <\cdots < i_k}\frac{\partial}{\partial q_{i_1}}\wedge\frac{\partial}{\partial p_{i_1}}\wedge\cdots\wedge\frac{\partial}{\partial q_{i_k}}\wedge\frac{\partial}{\partial p_{i_k}}
\]
 

我们定义 $d^*:\ \Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-1}(M)$ 为 $d^*:=(-1)^k *d*$.

易见 $d^*$ 是 [B] 中所介绍的典范复形的上边缘算子(coboundary operator).

因此我们有
\[
d^*=d\circ i(G)-i(G)\circ d=[d,i(G)].\tag{1}
\]

根据 $d^*$ 的定义, 我们有 $d^*\circ d^*=0$. 我们定义
\[
\begin{array}{rcl}
L:\ \Omega^k(M)&\rightarrow&\Omega^{k+2}(M)\\
\alpha&\mapsto& L(\alpha):=\omega\wedge\alpha.
\end{array}
\]
 

由于 $\omega$ 是闭的, 故 $[L,d]=0$.

Lemma 1.1. 若 $\alpha\in\Omega^k(M)$ ($0\leqslant k\leqslant 2m$), 则

\[
[L,i(G)]\alpha=\omega\wedge i(G)\alpha-i(G)(\omega\wedge\alpha)=(k-m)\alpha.
\]

证明. 由于 $L$ 和 $i(G)$ 都是局部算子并且都是 $C^\infty(M)$-线性的. 因此我们只要对于 $\dim M=2$ 证明即可, 而这是显然的.

Lemma 1.2. $[L,d^*]=-d$.
Pf. 设 $\alpha\in\Omega^k(M)$. 根据恒等式 (1) 和 Lemma 1.1, 我们有
\[
\begin{split}
[L,d^*]\alpha &=Ld^*\alpha-d^*(\omega\wedge\alpha)\\
&=L\bigl(d\circ i(G)\alpha-i(G)(d\alpha)\bigr)-\bigl(d\circ i(G)(\omega\wedge\alpha)-i(G)d(\omega\wedge\alpha)\bigr)\\
&=\omega\wedge(d\circ i(G)\alpha)-\omega\wedge\bigl(i(G)(d\alpha)\bigr)-d\circ i(G)(\omega\wedge\alpha)+i(G)d(\omega\wedge\alpha)\\
&=d\bigl(\omega\wedge i(G)\alpha\bigr)-\omega\wedge\bigl(i(G)(d\alpha)\bigr)-d\bigl(i(G)(\omega\wedge\alpha)\bigr)+i(G)(\omega\wedge d\alpha)\\
&=d\bigl(\omega\wedge i(G)\alpha-i(G)(\omega\wedge\alpha)\bigr)-\bigl(\omega\wedge i(G)(d\alpha)-i(G)(\omega\wedge d\alpha)\bigr)\\
&=d(k-m)\alpha-(k+1-m)d\alpha\\
&=-d\alpha.
\end{split}
\]
其中倒数第二个等号用了两次 Lemma 1.1.
 

对于任意的 $0\leqslant k\leqslant 2m$, 定义
\[
L^*:\ \Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-2}(M)
\]
为 $L^*:=-*L*$, 称 $L^*$ 为 $L$ 的辛伴随算子(symplectic adjoint operator).

Corollary 1.3. $[L^*,d^*]=0$, $[L^*,d]=d^*$.

Pf. 若将 $[L^*,d^*]$ 和 $[L^*,d]$ 限制在 $\Omega^{k-2}(M)$ 上, 则我们有
\[
[L^*,d^*]=(-1)^{k+1}*[L,d]*=0.
\]
 

\[ \begin{split} [L^*,d]&=L^*\circ d-d\circ L^*\\ &=(-1)*L*d-d(-1)*L*\\ &=*(-L*d*+*d*L)*\\ &=(-1)^{2m-k}*\bigl((-1)^k *d*L-(-1)^k L*d*\bigr)*\\ &=(-1)^{2m-k}*[d^*, L]*\\ &=(-1)^k *d*\\ &=d^* \end{split} \]

译自: Dong Yan, Hodge Structure on Symplectic Manifolds, Advances in Mathematics 120, 143--154(1996)

介绍

J. Brylinski 在 [B] 中引入了辛调和形式(symplectic harmonic forms)这一概念. 进一步的, 他猜想在紧致辛流形上, 每个 de Rham 上同调类包含一个调和形式的代表元.  Brylinski 的猜想等价于在 symplectic 意义下 Hodge 分解存在性这个问题. (辛意义下 Hodge 分解的唯一性显然是不成立的.)

Olivier Mathieu 在 [M] 中否定了 Brylinski 的猜想. 事实上, 他证明了下面的定理,

Theorem 0.1 设 $(M^{2m},\omega)$ 是一个 $2m$-维辛流形. 则下面两个断言是等价的:

1. 任一上同调类包含一个调和上闭链(cocycle).
2. 对任意的 $k\leqslant m$, cup product $[\omega]^k:\ H^{m-k}(M)\rightarrow H^{m+k}(M)$ 是满射.

Mathieu 定理是针对紧致 Kähler 流形的 Hard Lefschetz 定理的推广. 他的证明涉及到 quivers 和 Lie 超代数的表示理论. 本文中我们将给出此定理的一个更简单直接的证明. 我们的证明遵循 Hard Lefschetz 定理的标准证明(见[G]).

我们将研究无穷维 $sl(2)$-表示的一个特殊类型, 我们称它为有限 $H$-谱的 $sl(2)$-模(an $sl(2)$-module of finite $H$-spectrum). 然后我们将我们所研究得到的结果应用到 $M$ 上的微分形式空间以及由辛调和形式(symplectic harmonic forms)所构成的子空间上.

作为应用, 我们将给出由 B. Khesin 和 D. McDuff 所提出的一个问题的解(见第 4 节). 根据 B. Khesin, 这个问题大概与群理论流体动力学(group-theoretical hydrodynamics)以及微分同胚群的几何(geometry of diffeomorphism groups)有关.

第一节, 我们研究关于辛流形上微分形式空间的各种算子以及之间的关系. 第二节, 我们回忆 $sl(2)$-表示的经典结果; 特别地, 我们引入有限 $H$-谱的 $sl(2)$-模(an $sl(2)$-module of finite $H$-spectrum) 的概念. 在第三节中, 我们给出主要定理的证明. 第四节是定理的应用.

不难发现, 利用本文中所展示的方法, 可以将上述结论推广到系数取自 $M$ 上任意平坦向量丛的 de Rham 上同调. 关于进一步的推广, 参见 [Y].

第一节. $\Omega^*(M)$ 上的算子