41. 微分方程$x'=x^n$相位速度场的扩张问题
Posted by zzy1993 on 2014-10-08 11:06:12 last update 2014-10-08 11:06:12 | Answers (0) | 收藏
若$n\in\mathbf{N}$，则$n$为何值时，微分方程$x'=x^n$在仿射直线上的相位速度场可被没有奇异点地扩张到射影直线上？
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42. 解方程 $\phi''+\lambda\phi=0$
Posted by haifeng on 2014-08-21 10:15:42 last update 2014-08-21 10:42:19 | Answers (0) | 收藏
设 $\phi$ 是 $[0,a]$ 上的二阶光滑函数, 解下面的 Dirichlet 边值条件的方程
\[
\begin{cases}
\phi''+\lambda\phi=0\\
\phi(0)=\phi(a)=0
\end{cases}
\]
答案:
\[\phi(x)=C\sin(\frac{k\pi}{a}x),\]
这里 $C$ 是任意常数.
如果再限定条件 $\|\phi\|_2^2=\int_{0}^{a}\phi^2(x)dx=1$, 则可解得 $C=\sqrt{2/a}$.