求微分方程 $y''+3y'+2y=3(x-1)e^{-x}$ 的通解.

注: 我们可以仿照问题1424的做法求出此微分方程的通解.

若现在已经求得 $y''+3y'+2y=3xe^{-x}$ 的通解为

\[
C_1 e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}(\frac{3}{2}x-3).
\]

能否直接由此写出 $y''+3y'+2y=3(x-1)e^{-x}$ 的通解?

这里所讲的欧拉方程是一种特殊的变系数常微分方程, 其形式如下:

\[
x^n y^{(n)}+a_1 x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_n y=f(x),
\]

其中 $a_1, a_2, \ldots, a_n\in\mathbb{R}$.

求解欧拉方程可以使用下面的变量代换法. 令 $y=y(t)$, 其中 $t=t(x)=\ln x$, 这里 $x > 0$. (如果 $x < 0$, 则令 $t=\ln(-x)$.)

于是,

\[
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\\
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 x}&=-\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x^2}\biggl(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 t}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\biggr),\\
\end{aligned}
\]

使用上面的记号进行计算毕竟还是比较繁琐的, 下面使用导数的简记法进行计算.

\[
\begin{split}
\frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}^3 x}&=y'''_{x}=(-2)x^{-3}(y''_t-y'_t)+x^{-2}(y'''_t\cdot t'_x-y''_t\cdot t'_x)\\
&=x^{-3}(-2y''_t+2y'_t)+x^{-2}(y'''_t\cdot\frac{1}{x}-y''_t\cdot\frac{1}{x})\\
&=x^{-3}(-2y''_t+2y'_t+y'''_t-y''_t)\\
&=\frac{1}{x^3}(y'''_t-3y''_t+2y'_t)
\end{split}
\]

设

\[L=a_n(x)D^n+a_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdots+a_1(x)D+a_0(x),\]

其中 $D^n=\dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}$, $n=1,2,\ldots$. 证明 $L$ 满足线性性.

\[L(ay_1+by_2)=aL(y_1)+bL(y_2).\]

解方程: $xy'+y=\frac{\ln x}{x}$.

求方程 $3x^2yy'=\sqrt{1-y^2}$ 满足初始条件 $y(1)=0$ 的特解.

求解方程 $y''(x)=m^2 y(x)$ 和 $y''(x)=-m^2 y(x)$.  这里 $m > 0$.

[Hint]

$y''(x)-m^2 y(x)=0$ 的特征方程为 $\lambda^2-m^2=0$. 得 $\lambda=\pm m$. 于是, 通解为

\[
y(x)=C_1 e^{mx}+C_2 e^{-mx}
\]

$y''(x)+m^2 y(x)=0$ 的特征方程为 $\lambda^2+m^2=0$. 得 $\lambda=\pm mi$, 这里 $i=\sqrt{-1}$. 于是, 通解为

\[
\begin{split}
y(x)&=C_1 e^{mix}+C_2 e^{-mix}\\
&=C_1\bigl(\cos(mx)+i\sin(mx)\bigr)+C_2\bigl(\cos(mx)-i\sin(mx)\bigr)\\
&=(C_1+C_2)\cos(mx)+i(C_1-C_2)\sin(mx)
\end{split}
\]

因此通解也可表示为

\[
y(x)=C_1 \cos(mx)+C_2\cdot i\sin(mx)
\]

除了特征方程的方法, 对于 $y''=m^2 y$ 或类似的形如 $y''=f(y)$ 的常微分方程, 可以令 $y'=p(y)$. 从而 $y''=p'(y)\cdot y'$. 于是原方程变为

\[
\frac{dp(y)}{dy}\cdot p(y)=m^2 y\quad\Rightarrow\quad p(y)dp(y)=m^2 y dy
\]

Remark:

思考: 上面为什么可以令 $y'(x)=p(y)$ ? 也就是 $y'(x)$ 为什么可以是 $y$ 的函数?

当高阶常微分方程中不含有 $y$, 则可令 $p(x)=y'(x)$, 从而降阶. 

求二阶常系数线性齐次方程

\[
\begin{cases}
y''+2y'+y=0,\\
y(0)=4,\quad y'(0)=-2
\end{cases}
\]

解方程 $x(1+y^2)\mathrm{d}x-(1+x^2)y\mathrm{d}y=0$.

求微分方程组 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$.

比如, 最简单的

\[
\begin{cases}
\frac{dy}{dt}=z,\\
\frac{dz}{dt}=-y.
\end{cases}
\]

或者有三个未知函数的微分方程组

\[
\begin{cases}
x'_t=2x-3y+3z,\\
y'_t=4x-5y+3z,\\
z'_t=4x-4y+2z.\\
\end{cases}\tag{*}
\]

[Idea]

处理这种方程组的想法来源于最简单的方程 $\frac{dx}{dt}=ax$ 以及变量的线性变换.

对于 $\frac{dx}{dt}=ax$, 我们都知道它的通解为 $x=Ce^{at}$. 如果方程组形如

\[
\begin{cases}
x'_t=2x,\\
y'_t=-5y,\\
z'_t=2z.\\
\end{cases}
\]

我们自然是会解的, 这里 $x,y,z$ 彼此互不相关. 但对于方程组(*), 或者一般的 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$, 这里 $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T$, $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, 我们可以想办法利用线性变换, 将 $A$ 变成单位矩阵.