问题及解答

欧氏空间到自身的映射 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$, 若其 Jacobi 行列式满足

\[
0 < \varepsilon\leq J(f)\leq N < \infty
\]

这里 $\varepsilon$ 和 $N$ 是正的常数.

问: $f$ 是否是一一映射?

例如: 设 $z=x_1+ix_2$, 令 $w=f(z)=x_1+ix_2^2$. 或者用下面的方程组来表示

\[
\begin{cases}
x_1(y)&=y_1^2-y_2^2\\
x_2(y)&=2y_1 y_2
\end{cases}
\]

易见 $J(f)=4(y_1^2+y_2^2)$. 对于不含原点的区域, Jacobi 行列式均为正. 但当区域中的点趋向于原点时, $J(f)$ 趋向于零. 这个映射也不是一一的.