求
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}.\]
若令 $t=\frac{1}{x}$, 则题目变为
\[
\lim_{t\rightarrow\infty}t\Bigl[(1+\frac{1}{t})^t-e\Bigr]
\]
参见问题3238
类似的题目
求
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}n\biggl[e(1+\frac{1}{n})^{-n}-1\biggr]
\]
\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\biggl[\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x}-\frac{x}{e}\biggr]
\]
1
注意到 $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$, 因此分母趋于零, 可以应用洛必达法则.
\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\bigl((1+x)^{\frac{1}{x}}\bigr)'_x}{1}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\Bigl(e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)}\Bigr)'_x\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)}\cdot\bigl(\frac{1}{x}\ln(1+x)\bigr)'_x\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\cdot\bigl[-\frac{1}{x^2}\ln(1+x)+\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}\bigr]\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}\\
&=e\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1\cdot(1+x)-x\cdot 1}{(1+x)^2}-\frac{1}{1+x}}{2x}\\
&=e\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-1}{2(1+x)^2}\\
&=-\frac{e}{2}.
\end{split}
\]