求 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$
求
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}.\]
若令 $t=\frac{1}{x}$, 则题目变为
\[
\lim_{t\rightarrow\infty}t\Bigl[(1+\frac{1}{t})^t-e\Bigr]
\]
参见问题3238
类似的题目
求
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}n\biggl[e(1+\frac{1}{n})^{-n}-1\biggr]
\]
\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\biggl[\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x}-\frac{x}{e}\biggr]
\]