设 $X$ 是 $\aleph_1$ 个 $\mathbb{Z}$ 的笛卡尔积, 问 $X$ 的基数是多少
[Hint]
即求 $\aleph_0^c$, 这里 $c=\aleph_1$.
\[
\aleph_2=2^c\leqslant\aleph_0^c\leqslant c^c=\text{card}\{f:I\rightarrow I\mid f\ \text{是映射}\}=\aleph_2
\]
或者
\[
c^c=(2^{\aleph_0})^c=2^{\aleph_0\cdot c}=2^c
\]
注意: $\bar{Y}^{\bar{X}}=\#\{f:X\rightarrow Y\}$.
Question:
$C[-1,1]$ 的势是多少? 即包含多少连续函数?
Hint, 设 $f\in C[-1,1]$, 若取 $f$ 为常值函数, 则 $\# C[-1,1]\geqslant c$.
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(错误的证明)
将定义域 $[0,1]$ 分为三块 $[0,\frac{1}{3}]\cup[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]\cup[\frac{2}{3}, 1]$.
在 [0,\frac{1}{3}] 上取值 $a$, 在 $[\frac{2}{3}, 1]$ 上取值 $b$. 然后中间用连续函数（或光滑函数）连接。这里 $a,b$ 为任意实数.
这就说明函数个数不少于 $2^I=2^c$ 个. 【这只能说明至少有 $c^2$ 个】
证明一般需要利用 $[0,1]$ 中的可数稠密子集. 因此我们一般是利用有理数集来证明的. 因为连续函数可以由其在有理数上的值所确定. 不过反之, 有理数集上的值确定后不一定能构建一个连续函数. 因此, 教科书上的标准证明一般是构造 $C[0,1]$ 到 $\mathcal{P}(Q\times Q)$ 的一个映射. 这里 $\mathcal{P}(Q\times Q)$ 是 $Q\times Q$ 的幂集. 具体的.
\[
\begin{array}{rcl}
F:\ C[0,1]&\rightarrow&\mathcal{P}(Q\times Q)\\
\varphi &\mapsto & A
\end{array}
\]
其中 $A=\{(s,t)\in Q\times Q\mid t\leqslant \varphi(s)\}$. 显然 $F$ 是一个单射. 因此 $\# C[0,1]\leqslant\#\mathcal{P}(Q\times Q)=2^{\aleph_0}=c$. 另一方面由于常值函数当然是连续函数, 故 $\# C[0,1]\geqslant c$. 因此 $\# C[0,1]=c$.
Question: 能否用Cantor 集来证明?
* * *
假设 $\# C[0,1]=X$, 利用康托集构成的正方形 $[0,1]\times [0,1]$ 上的分形, 则可以得到
$X\geqslant\aleph_0^{\aleph_0}=c$,
由于 $X\geqslant c$, 故 $X=c$.
中间用连续函数（或直线）拼接成整体上的连续函数.