问题

设 $X$ 是 $\aleph_1$ 个 $\mathbb{Z}$ 的笛卡尔积, 问 $X$ 的基数是多少

[Hint]

即求 $\aleph_0^c$, 这里 $c=\aleph_1$.

\[
\aleph_2=2^c\leqslant\aleph_0^c\leqslant c^c=\text{card}\{f:I\rightarrow I\mid f\ \text{是映射}\}=\aleph_2
\]

或者

\[
c^c=(2^{\aleph_0})^c=2^{\aleph_0\cdot c}=2^c
\]

注意: $\bar{Y}^{\bar{X}}=\#\{f:X\rightarrow Y\}$.

Question:

$C[-1,1]$ 的势是多少? 即包含多少连续函数?

Hint, 设 $f\in C[-1,1]$, 若取 $f$ 为常值函数, 则 $\# C[-1,1]\geqslant c$.