Tietze 扩张定理(Tietze extension theorem) 或 Tietze 映射定理 (Tietze mapping theorem)

下面是平面情形的 Tietze 映射定理.

定理. 设 $A\subset\mathbb{R}^2$ 是闭集, $f:\ A\rightarrow[a,b]$ 连续. 则存在连续映射 $g:\ \mathbb{R}^2\rightarrow[a,b]$, 使得 $g|_A=f$.

References:

[1] 陈肇姜,  《点集拓扑》

[2] Rami Luisto, Proof of the Jordan curve theorem.

[3] 王作勤,  Lec11.pdf (ustc.edu.cn)

int x^2 e^{{x^2/ 2}-x}dx

设 $\{F_j\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界闭子集. $G$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集.

如果 $\cap_{j=1}^{\infty}F_j\subset G$, 则存在有限个 $F_j$, 如 $F_{j_1}, \ldots, F_{j_k}$, 使得

\[
\cap_{j=1}^{\infty}F_j\subset F_{j_1}\cap F_{j_2}\cap\cdots\cap F_{j_k}\subset G.
\]

Def (拓扑基) 拓扑空间 $(X,\tau)$ 的子集簇 $\beta\subset\tau$ 如果满足:

$\forall G\in\tau$ 及 $x\in G$, 存在 $B\in\beta$, 使得 $x\in B\subset G$,

则称 $\beta$ 是拓扑 $\tau$ 的一个基.

局部闭子集(locally closed subset)

根据 Bourbaki[1], 拓扑空间 $(X,\tau)$ 的一个子集 $S$ 被称为局部闭的, 如果它是一个开集和一个闭集的交.

[2]: According to Bourbaki [1] a subset S of a space $(X,\tau)$ is called locally closed if it is the intersection of an open set and a closed set.

References:

[1] N. Bourbaki, General Topology Part 1, Addison Wesley, Reading, Mass. 1966.

[2] http://www.math.tugraz.at/~ganster/papers/33.pdf

设 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的递增函数. 令

\[
G=\{x\in\mathbb{R}\mid \forall\varepsilon > 0, f(x+\varepsilon) > f(x-\varepsilon)\}
\]

证明 $G$ 是 $\mathbb{R}$ 中的闭集.

设 $A$ 为 $\mathbb{E}^n$ 的可数子集, 证明 $\mathbb{E}^n-A$ 是 $\mathbb{E}^n$ 的连通子集(此处 $n\geqslant 2$).

类似的,

设 $A$ 为 $S^n(n\geqslant 2)$ 的可数子集, 证明 $S^n-A$ 连通.

设 $X$ 是拓扑空间, 称点 $x\in X$ 是 $X$ 的割点, 若 $X-\{x\}$ 不连通.

证明: 拓扑空间的割点数是拓扑不变量.

割点数常可用来否定拓扑空间的同胚关系.

回忆, 连通分支的基数也是拓扑不变量.

$\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 与 $\mathbb{E}^1$ 的任何子集都不同胚.

$\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 与 $S^1$ 的任何子集也不同胚.

更一般的, $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 同胚仅当 $n=m$. (参见问题1602)

类似的, 当 $n\neq m$ 时, $S^n$ 与 $S^m$ 也不同胚.

注意: 这需要代数拓扑的知识.

定理[Serpinski]. 任意两个可数的度量空间, 如果没有孤立点的话, 则一定是同胚的.

References:

http://math.stackexchange.com/questions/72143/is-there-a-countable-regular-space-with-no-isolated-points-which-is-not-homeomo