拓扑空间的第一、第二可数性可被连续的开映射所保持.

拓扑空间的下述性质能被连续映射所保持.

1. 可分性
2. Lindelöf 性质
3. 可数紧性
4. 序列紧性
5. 道路连通性

Bolzano-Weierstrass 性质不能被连续映射保持, 请举例说明. 但它是拓扑性质.

连通性当然可以.  设 $f:\ X\rightarrow Y$ 是拓扑空间 $X$ 到 $Y$ 的连续映射, 如果 $X$ 是连通的, 则 $Y$ 也是连通的.

[1] 陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》

3,4 from 习题 5.3.5 P.118

5. from 定理 3.2.2

也可以参见

连续函数的像保持哪些拓扑性质？ - 知乎 (zhihu.com)

Sorgenfrey 直线 $\mathbb{R}_s$ 的定义:

对于实数集 $\mathbb{R}$, 令

\[\mathcal{B}=\{[a,b)\mid\ \forall\ a < b\}.\]

以 $\mathcal{B}$ 为拓扑基生成的拓扑 $\tau_s$ 叫做 $\mathbb{R}$ 的右半区间拓扑. 称 $\langle\mathbb{R},\tau_s\rangle$ 为 Sorgenfrey 直线, 记作 $\mathbb{R}_s$.

Sorgenfrey 直线 $\mathbb{R}_s$ 的性质:

1. Sorgenfrey 直线是第一可数的, 可分的, Lindelöf 的, 非 $\sigma$-紧, 非局部紧, 也非第二可数的. [1,p.34,169]
2. Sorgenfrey 直线的任一子空间都是 Lindelöf 的，即 $\mathbb{R}_s$ 是遗传 Lindelöf 的. [1,p.35]
3. Sorgenfrey 直线不是可数紧的, $\mathbb{R}_s$ 的子空间 $[0,1]$ 也不是可数紧的, 甚至不具有 B-W性质(Bolzano-Weierstrass 性质). [1,p.122]
4. Sorgenfrey 直线是仿紧的, 但Sorgenfrey 平面 $\mathbb{R}_s^2=\mathbb{R}_s\times\mathbb{R}_s$ 却不是仿紧的. (可见仿紧性不能被乘积所保持.) [2,p.171]
5. Sorgenfrey 直线显然是 Hausdorff 的, 而且它还是完全正规(也叫遗传正规)的 $T_1$ 空间. 更好的是 Sorgenfrey 直线是 $\mathrm{T}_5$. 当然是 $T_4$ 的, 完全正则的. Sorgenfrey 平面是 Sorgenfrey 直线的积空间 $\mathbb{R}_s^2=\mathbb{R}_s\times\mathbb{R}_s$, 所以也是完全正则的, $\mathrm{T}_1$ 的, 但不是正规的. [1,p.111,149,177]
6. $X=Y=\mathbb{R}$, $\tau_X=\tau_s$, 即 Sorgenfrey 直线, $\tau_Y=$ 右序拓扑, 证明 $\langle X,\tau_X\rangle$ 与 $\langle Y,\tau_Y\rangle$ 不同胚. [1,p.53]
7. 由于 $\mathbb{R}$ 上的序拓扑就是通常的拓扑, 根据 6, Sorgenfrey 直线不是拓扑流形. [2.p.59]

References:

[1] 陈肇姜 编著 《点集拓扑学题解与反例》P.177

[2] 陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》

设 $A$ 为可数集, 令

\[\mathcal{A}=\{B\in\mathcal{P}(A)\mid B\text{有限}\},\]

其中 $\mathcal{P}(A)$ 是 $A$ 的幂集, 即所有子集构成的集族, 证明 $A$ 可数.

References:

陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》P.18 $\S 1.3$ 习题 $\Delta 1.3.2$

可数个第二可数空间的并仍是第二可数的.

(1) $x\in A^{\circ}\Leftrightarrow\rho(x,\mathcal{C}A)>0$;

(2) $x\in\bar{A}\Leftrightarrow\rho(x,A)=0$;

(3) $x\in\text{Bd}(A)\Leftrightarrow\rho(x,A)=0\wedge\rho(x,\mathcal{C}A)=0$.

这里, $\wedge$ 表示且的意思, $\mathcal{C}A$ 或 $A^c$ 指 $A$ 的补集.

Precompact set 有几种解释

• Relatively compact subspace (相对紧集), 也就是指闭包是紧的集合.
• Totally bounded set (全有界集).
• 仿紧. (拓扑空间 $X$ 如果每个开覆盖都有一个局部有限的加细开覆盖(简称开加细), 则称 $X$ 是仿紧空间.[1])

References:

[1] 陆文钊、陈肇姜 编著, 《点集拓扑学》 南京大学出版社. 1995.

[2] Relatively-compact set - Encyclopedia of Mathematics

度量空间 $X$ 的一个子集 $N$, 如果满足 $X$ 中任意一点到它的距离都小于 $\varepsilon$, 则称 $N$ 是 $X$ 的一个 $\varepsilon$-网.

即 $d(x,N)<\varepsilon$, 对任意 $x\in X$.