问题及解答

Sorgenfrey 直线 $\mathbb{R}_s$ 的定义:

对于实数集 $\mathbb{R}$, 令

\[\mathcal{B}=\{[a,b)\mid\ \forall\ a < b\}.\]

以 $\mathcal{B}$ 为拓扑基生成的拓扑 $\tau_s$ 叫做 $\mathbb{R}$ 的右半区间拓扑. 称 $\langle\mathbb{R},\tau_s\rangle$ 为 Sorgenfrey 直线, 记作 $\mathbb{R}_s$.

Sorgenfrey 直线 $\mathbb{R}_s$ 的性质:

1. Sorgenfrey 直线是第一可数的, 可分的, Lindelöf 的, 非 $\sigma$-紧, 非局部紧, 也非第二可数的. [1,p.34,169]
2. Sorgenfrey 直线的任一子空间都是 Lindelöf 的，即 $\mathbb{R}_s$ 是遗传 Lindelöf 的. [1,p.35]
3. Sorgenfrey 直线不是可数紧的, $\mathbb{R}_s$ 的子空间 $[0,1]$ 也不是可数紧的, 甚至不具有 B-W性质(Bolzano-Weierstrass 性质). [1,p.122]
4. Sorgenfrey 直线是仿紧的, 但Sorgenfrey 平面 $\mathbb{R}_s^2=\mathbb{R}_s\times\mathbb{R}_s$ 却不是仿紧的. (可见仿紧性不能被乘积所保持.) [2,p.171]
5. Sorgenfrey 直线显然是 Hausdorff 的, 而且它还是完全正规(也叫遗传正规)的 $T_1$ 空间. 更好的是 Sorgenfrey 直线是 $\mathrm{T}_5$. 当然是 $T_4$ 的, 完全正则的. Sorgenfrey 平面是 Sorgenfrey 直线的积空间 $\mathbb{R}_s^2=\mathbb{R}_s\times\mathbb{R}_s$, 所以也是完全正则的, $\mathrm{T}_1$ 的, 但不是正规的. [1,p.111,149,177]
6. $X=Y=\mathbb{R}$, $\tau_X=\tau_s$, 即 Sorgenfrey 直线, $\tau_Y=$ 右序拓扑, 证明 $\langle X,\tau_X\rangle$ 与 $\langle Y,\tau_Y\rangle$ 不同胚. [1,p.53]
7. 由于 $\mathbb{R}$ 上的序拓扑就是通常的拓扑, 根据 6, Sorgenfrey 直线不是拓扑流形. [2.p.59]

References:

[1] 陈肇姜 编著 《点集拓扑学题解与反例》P.177

[2] 陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》