问题及解答

(1) $x\in A^{\circ}\Leftrightarrow\rho(x,\mathcal{C}A)>0$;

(2) $x\in\bar{A}\Leftrightarrow\rho(x,A)=0$;

(3) $x\in\text{Bd}(A)\Leftrightarrow\rho(x,A)=0\wedge\rho(x,\mathcal{C}A)=0$.

这里, $\wedge$ 表示且的意思, $\mathcal{C}A$ 或 $A^c$ 指 $A$ 的补集.

(1) $x\in A^\circ$ 即指存在 $\varepsilon>0$, 使得 $B(x,\varepsilon)\subset A$. 从而 $\text{dist}(x,y)\geqslant\varepsilon$, $\forall\ y\in A^c$, 因此

\[
\rho(x,A^c)=\inf\{\text{dist}(x,y)\mid y\in A^c\}\geqslant\varepsilon>0
\]

反之, 若 $\rho(x,A^c)>0$, 记 $r=\rho(x,A^c)$, 取 $\varepsilon>0$ 满足 $0<\varepsilon< r$. 则 $B(x,\varepsilon)$ 中的点都不可能在 $A^c$ 中, 于是 $B(x,\varepsilon)\subset A$, 即 $x\in A^\circ$.

$\bar{A}=\text{Cl}(A)=\{A\ \text{的全体接触点}\}$

(3) $\text{Bd}(A)$ 指 $A$ 的全体边界点组成的集合.