\[
y^2=x^3+x^2
\]
画出此曲线的图像, 并给出其参数化表示.
[Hint]
首先观察到: 函数图像关于 $x$ 轴对称, 因为如果 $(x,y)\in G$, 则 $(x,-y)\in G$. 这里 $G$ 是图像.
其次, $x^3=y^2-x^2\geqslant -x^2$, 从而推出 $x\geqslant -1$.
(1) 当 $y\rightarrow\pm\infty$ 时, $x\rightarrow+\infty$.
(2) 设 $y=0$, 则有 $x^3+x^2=0$, 得 $x=0$ 或 $x=-1$.
(3) 设 $y > 0$, 且 $x > 0$, 则有 $y=x\sqrt{x+1}$,
(4) 设 $y > 0$, 且 $-1< x < 0$, 则有 $y=-x\sqrt{x+1}$.
该函数的参数化表示是: $t\mapsto(t^2-1,t^3-t)$.
References:
Klaus Hulek 著 《初等代数几何》 P.5 例题 0.4
1
考虑该曲线与直线 $y=tx$ 的交点.
\[
\begin{cases}
y^2&=x^2+x^3\\
y&=tx
\end{cases}
\]
将 $y=tx$ 代入第一式, 得 $x^2(t^2-x-1)=0$. 得到二重零点 $x=0$, 以及 $x=t^2-1$.
$x=0$, 从而 $y=0$. 这是直线 $y=tx$ 与曲线上的一个公共点. 重点是另一个点.
将 $x=t^2-1$ 代入第二式, 得 $y=t(t^2-1)$. 因此有参数方程
\[
\begin{cases}
x&=t^2-1,\\
y&=t(t^2-1).
\end{cases}
\]
将此曲线画出后, 额外加上直线 $x=1$. 我们可以通过直线 $y=tx$, 将曲线上的点投影到直线 $x=1$ 上. 参数 $t$ (即直线 $y=tx$ 的斜率)实际上就是曲线上点的参数化坐标. 曲线上的点 $(x,y)$, $x\neq 0$ 唯一确定了 $t$.
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References:
Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I. P.4