问题及解答

是否有无穷多个 Fermat 素数?

Fermat 素数 (Fermat primes) 是指形如 $2^{2^n}+1$ 的素数. 目前已知的只有下面几个 Fermat 素数.

\[
3=2^{2^0}+1,\quad 5=2^{2^1}+1,\quad 17=2^{2^2}+1,\quad 257=2^{2^3}+1,\quad 65537=2^{2^4}+1.
\]

Fermat 猜测形如 $2^{2^n}+1$ 的数都是素数. 不过 1732 年, Leonhard Euler 否定了这个猜测. 他给出了一个反例: $2^{32}+1=4294967297$ 不是一个素数, 它等于 $641 \times 6700417$.

\[
2^{2^{12}}+1=(7\times 2^{14}+1)\times(...), \quad 2^{2^{23}}+1=(5\cdot 2^{25}+1)\times(...)
\]

1796 年, 德国数学家 Carl Friedrich Gauss(1777--1855) 发现了用尺规作图作正多边形与 Fermat 素数之间的关系. 就是下面著名的 Gauss 定理. (我们把一个正多边形可以用尺规作图实现称作该正多边形存在一个欧氏构造 Euclidean construction.)

Gauss 定理. 正 $n$ 边形存在一个欧氏构造当且仅当

\[
n=2^i p_1 p_2\cdots p_j,
\]

这里 $n\geqslant 3$, $i\geqslant 0$, $j\geqslant 0$, 且 $p_1,p_2,\ldots,p_j$ 是互不相同的 Fermat 素数.

References:

Cindy Tsang, University of Washington, Fermat Numbers.

http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary

http://www.fermatsearch.org/

利用Calculator计算 $2^2^{12}+1$

>> 2^2^12+1

out> 1044388881413152506691752710716624382579964249047383780384233483283953907971557456848826811934997558340890106714439262837987573438185793607263236087851365277945956976543709998340361590134383718314428070011855946226376318839397712745672334684344586617496807908705803704071284048740118609114467977783598029006686938976881787785946905630190260940599579453432823469303026696443059025015972399867714215541693835559885291486318237914434496734087811872639496475100189041349008417061675093668333850551032972088269550769983616369411933015213796825837188091833656751221318492846368125550225998300412344784862595674492194617023806505913245610825731835380087608622102834270197698202313169017678006675195485079921636419370285375124784014907159135459982790513399611551794271106831134090584272884279791554849782954323534517065223269061394905987693002122963395687782878948440616007412945674919823050571642377154816321380631045902916136926708342856440730447899971901781465763473223850267253059899795996090799469201774624817718449867455659250178329070473119433165550807568221846571746373296884912819520317457002440926616910874148385078411929804522981857338977648103126085903001302413467189726673216491511131602920781738033436090243804708340403154190337

------------------------

>> 7*2^14+1
in> 7*2^14+1

out> 114689

------------------------

in> 1044388881413152506691752710716624382579964249047383780384233483283953907971557456848826811934997558340890106714439262837987573438185793607263236087851365277945956976543709998340361590134383718314428070011855946226376318839397712745672334684344586617496807908705803704071284048740118609114467977783598029006686938976881787785946905630190260940599579453432823469303026696443059025015972399867714215541693835559885291486318237914434496734087811872639496475100189041349008417061675093668333850551032972088269550769983616369411933015213796825837188091833656751221318492846368125550225998300412344784862595674492194617023806505913245610825731835380087608622102834270197698202313169017678006675195485079921636419370285375124784014907159135459982790513399611551794271106831134090584272884279791554849782954323534517065223269061394905987693002122963395687782878948440616007412945674919823050571642377154816321380631045902916136926708342856440730447899971901781465763473223850267253059899795996090799469201774624817718449867455659250178329070473119433165550807568221846571746373296884912819520317457002440926616910874148385078411929804522981857338977648103126085903001302413467189726673216491511131602920781738033436090243804708340403154190337/114689

out> 9106268965752186405773463110818163752233991481723476361152625650968740750826648212547208641935996986118024454955917854702609434541985662158212523327009262247869952450049350838706079834460006786304075107567909269645531121898331250125751682239313156601738683820643686003638396435055834553570682260579462973839574318172464558815116581626749391315641251152532705571615644886981829338611134458123396450764186936496833100701185274214915961723337127995182593580031119299575446791424418154036863609858251201843852076223383379133238000289598800458955855329052103961332983048473420515918928565951506637819342706575976725030506905683310915700945442329953941604008255667676914945655757474715779252371155778495946746587469464160684843488975918662295274965457887082037460184558511575570318625886351712499453155527762335682281851520733417380809781252979478377941937578568481859702438295520231435016188495646093490407803983345420364088331996467459309353537828143080691834120737157445502646809195267166779721413577366833939771467773331873590129210913628329073978766992198221682739812652450408607796042492802295258713711959073218748776359806123717024800451461326745599716651128725627280643537507664130920416107218492950792456907321580171946770433

------------------------