问题

是否有无穷多个 Fermat 素数?

Fermat 素数 (Fermat primes) 是指形如 $2^{2^n}+1$ 的素数. 目前已知的只有下面几个 Fermat 素数.

$$3=2^{2^0}+1,5=2^{2^1}+1,17=2^{2^2}+1,257=2^{2^3}+1,65537=2^{2^4}+1.$$

Fermat 猜测形如 $2^{2^n}+1$ 的数都是素数. 不过 1732 年, Leonhard Euler 否定了这个猜测. 他给出了一个反例: $2^{32}+1=4294967297$ 不是一个素数, 它等于 $641\times 6700417$.

$$2^{2^{12}}+1=(7\times 2^{14}+1)\times (...),2^{2^{23}}+1=(5\cdot 2^{25}+1)\times (...)$$

1796 年, 德国数学家 Carl Friedrich Gauss(1777--1855) 发现了用尺规作图作正多边形与 Fermat 素数之间的关系. 就是下面著名的 Gauss 定理. (我们把一个正多边形可以用尺规作图实现称作该正多边形存在一个欧氏构造 Euclidean construction.)

Gauss 定理. 正 $n$ 边形存在一个欧氏构造当且仅当

$$n=2^i{p}_1{p}_2\cdots p_j,$$

这里 $n⩾3$, $i⩾0$, $j⩾0$, 且 $p_1,p_2,\dots ,p_j$ 是互不相同的 Fermat 素数.

References:

Cindy Tsang, University of Washington, Fermat Numbers.

http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary

http://www.fermatsearch.org/