做个游戏，给定任何一个数n，比如这里的137或者73，然后计算它们的Collatz(n)的步骤数，将此步骤数作为Collatz()函数的参数再进行计算得到步骤数，如此进行下去，是否在有限步后结束？

 

>> Collatz(137)
in> Collatz(137)
137-->412-->206-->103-->310-->155-->466-->233-->700-->350-->175-->526-->263-->790-->395-->1186-->593-->1780-->890-->445-->1336-->668-->334-->167-->502-->251-->754-->377-->1132-->566-->283-->850-->425-->1276-->638-->319-->958-->479-->1438-->719-->2158-->1079-->3238-->1619-->4858-->2429-->7288-->3644-->1822-->911-->2734-->1367-->4102-->2051-->6154-->3077-->9232-->4616-->2308-->1154-->577-->1732-->866-->433-->1300-->650-->325-->976-->488-->244-->122-->61-->184-->92-->46-->23-->70-->35-->106-->53-->160-->80-->40-->20-->10-->5-->16-->8-->4-->2-->1

out> 90

------------------------

>> Collatz(90)
in> Collatz(90)
90-->45-->136-->68-->34-->17-->52-->26-->13-->40-->20-->10-->5-->16-->8-->4-->2-->1

out> 17

------------------------

>> Collatz(17)
in> Collatz(17)
17-->52-->26-->13-->40-->20-->10-->5-->16-->8-->4-->2-->1

out> 12

------------------------

>> Collatz(12)
in> Collatz(12)
12-->6-->3-->10-->5-->16-->8-->4-->2-->1

out> 9

------------------------

>> Collatz(9)
in> Collatz(9)
9-->28-->14-->7-->22-->11-->34-->17-->52-->26-->13-->40-->20-->10-->5-->16-->8-->4-->2-->1

out> 19

------------------------

>> Collatz(19)
in> Collatz(19)
19-->58-->29-->88-->44-->22-->11-->34-->17-->52-->26-->13-->40-->20-->10-->5-->16-->8-->4-->2-->1

out> 20

------------------------

>> Collatz(20)
in> Collatz(20)
20-->10-->5-->16-->8-->4-->2-->1

out> 7

------------------------

>> Collatz(7)
in> Collatz(7)
7-->22-->11-->34-->17-->52-->26-->13-->40-->20-->10-->5-->16-->8-->4-->2-->1

out> 16

------------------------

>> Collatz(16)
in> Collatz(16)
16-->8-->4-->2-->1

out> 4

------------------------

>> Collatz(4)
in> Collatz(4)
4-->2-->1

out> 2

------------------------

>> Collatz(2)
in> Collatz(2)
2-->1

out> 1

------------------------

>> Collatz(1)
in> Collatz(1)
1

out> 0

------------------------

 

 

https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;d465bba.1702

是否存在无穷多个素数 $p$, 使得 $4p+1$ 也是素数?

 

Remark:

若成立, 则 Artin 猜想对于 $a=2$ 时成立, 即存在无穷多个素数 $p$, 使得 $2$ 是模 $p$ 的一个原根.

 

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Reference:

Tim Browning, Roger Heath-Brown, Sieves in Number Theory.

是否有无穷多个形如 $n^2+1$ 的素数?

Henri Brocard 在 1876和1885年两篇文章中提出了如下问题. 求整数 $n$ 和 $m$ 满足下面的方程:

\[
n!+1=m^2.
\]

(Srinivasa Ramanujan 1913年独立的提出此问题)

满足此方程的配对 $(n,m)$ 称为 Brown 数.

Paul Erdős 猜测除 $n=4,5,7$ 之外没有其他的解了. Overholt (1993) 证明若假设 ABC 猜想(abc conjecture)成立, 则此方程仅有有限个解. Berndt and Galway n.d.对于 $n < 10^9$ 进行了计算, 没有发现有其他的解.

 

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Brocard 猜想是指: 除了 2 和 3 之外, 相邻素数的平方之间至少存在四个素数. 即

$[p_n^2,p_{n+1}^2]$ 中至少存在 4 个素数, 对任意 $n > 1$.

这个猜想与 Schinzel 猜想有关. 即: 给定 $x > 8$, 在 $(x,x+(\log x)^2)$ 中必定存在一个素数.

也可见 Opperman 猜想.

 

与之相关的一个问题是下面的一个定理.(见问题1797)

定理. 当素数 $p > 5$ 时, $(p-1)!+1$ 不可能是 $p$ 的幂.

 

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References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Brocard%27s_problem

ABC 猜想(也称为 Oesterlé–Masser conjecture)

给定三个正整数 $a,b,c$, 假设它们没有超过 1 的公因子, 且满足 $a+b=c$. 若记 $d$ 为 $abc$ 的不同素因子的乘积, 则 $d$ 通常不会小于 $c$ 很多.

 

猜想提出者: Joseph Oesterlé (1988) and David Masser (1985).

望月新一（参见问题1066）

 

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ABC 猜想的不同等价形式

 

ABC Conjecture

对每个 $\varepsilon > 0$, 存在有限多个互素的三元组 $(a,b,c)$, 这里 $a,b,c$ 均是正整数且满足 $a+b=c$, 则有

\[
c > \Bigl[\mathrm{rad}(abc)\Bigr]^{1+\varepsilon}.
\]

 

Remark: 这里 $\mathrm{rad}(n)$ 指正整数 $n$ 中不同素因子的乘积, 比如 $\mathrm{rad}(18)=\mathrm{rad}(2\cdot 3^2)=2\cdot 3=6$.

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一个等价的形式是

ABC Conjecture II

对每个 $\varepsilon > 0$, 存在一常数 $K_{\varepsilon}$ 使得对所有满足 $a+b=c$ 的互素三元组 $(a,b,c)$, 有

\[
c < K_{\varepsilon}\cdot\Bigl[\mathrm{rad}(abc)\Bigr]^{1+\varepsilon}.
\]

 

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第三个等价的形式与三元组 $(a,b,c)$ 的所谓 quality 有关. 这个 quality 定义为:

\[
q(a,b,c):=\frac{\log(c)}{\log(\mathrm{rad}(abc))}
\]

 

例如:

\[
q(4,127,131)=\frac{\log(131)}{\log(\mathrm{rad}(4\cdot 127\cdot 131))}=\frac{\log(131)}{\log(2\cdot 127\cdot 131)}\approx 0.468205
\]

\[
q(3,125,128)=\frac{\log(128)}{\log(\mathrm{rad}(3\cdot 125\cdot 128))}=\frac{\log(128)}{\log(\mathrm{rad}(3\cdot 5^3\cdot 2^7))}=\frac{\log(128)}{\log(30)}\approx 1.426565
\]

 

满足 $a+b=c$ 的互素三元组 $(a,b,c)$ 一般来说就和第一个例子一样满足 $c < \mathrm{rad}(abc)$, 也即 $q(a,b,c) < 1$.

\[
c < \mathrm{rad}(abc)\Leftrightarrow\log c < \log(\mathrm{rad}(abc))\Leftrightarrow\frac{\log c}{\log(\mathrm{rad}(abc))} < 1
\]

第二个例子是非常特殊的, 它们是由那些较小素数的高次方构成的数.

 

ABC Conjecture III

对每个 $\varepsilon > 0$, 存在有限多个互素三元组 $(a,b,c)$, 满足 $a+b=c$, 使得

\[
q(a,b,c) > 1+\varepsilon.
\]

 

然而, 已经知道的是有无穷多个互素三元组 $(a,b,c)$, 满足 $a+b=c$, 使得 $q(a,b,c) > 1$ 成立.

这个猜想预测道, 仅有有限个这样的三元组 $(a,b,c)$ 满足 $q > 1.01$ 或 $q > 1.001$, 或甚至 $q > 1.0001$ 等等. 特别的, 如果此猜想成立, 则必存在一个三元组 $(a,b,c)$ 取得最大的 $q(a,b,c)$.

 

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最新进展

2017年12月16日

http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=9871

 

2017年12月17日

https://galoisrepresentations.wordpress.com/2017/12/17/the-abc-conjecture-has-still-not-been-proved/

 

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References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture

是否有无穷多个 Fermat 素数?

Fermat 素数 (Fermat primes) 是指形如 $2^{2^n}+1$ 的素数. 目前已知的只有下面几个 Fermat 素数.

\[
3=2^{2^0}+1,\quad 5=2^{2^1}+1,\quad 17=2^{2^2}+1,\quad 257=2^{2^3}+1,\quad 65537=2^{2^4}+1.
\]

Fermat 猜测形如 $2^{2^n}+1$ 的数都是素数. 不过 1732 年, Leonhard Euler 否定了这个猜测. 他给出了一个反例: $2^{32}+1=4294967297$ 不是一个素数, 它等于 $641 \times 6700417$.

 

\[
2^{2^{12}}+1=(7\times 2^{14}+1)\times(...), \quad 2^{2^{23}}+1=(5\cdot 2^{25}+1)\times(...)
\]

 

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1796 年, 德国数学家 Carl Friedrich Gauss(1777--1855) 发现了用尺规作图作正多边形与 Fermat 素数之间的关系. 就是下面著名的 Gauss 定理. (我们把一个正多边形可以用尺规作图实现称作该正多边形存在一个欧氏构造 Euclidean construction.)

Gauss 定理. 正 $n$ 边形存在一个欧氏构造当且仅当

\[
n=2^i p_1 p_2\cdots p_j,
\]

这里 $n\geqslant 3$, $i\geqslant 0$, $j\geqslant 0$, 且 $p_1,p_2,\ldots,p_j$ 是互不相同的 Fermat 素数.

 

 

 

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References:

Cindy Tsang, University of Washington, Fermat Numbers.

http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary

http://www.fermatsearch.org/

 

设 $p_j$ 是第 $j$ 个素数, 考虑集合

\[\{2p_k-p_i\cdot p_j\mid p_i < p_j < p_k \}\]

 

Q. 该集合中是否有无穷多个素数?

设 $n\geqslant 2$ 是一正整数, $n^2$ 个素数: $p_1,p_2,p_3,\ldots,p_{n^2}$ 构成一个 $n$ 阶方阵 $A_n$, 其中 $p_j$ 是指第 $j$ 个素数.

问 $\min\text{rank}(A)$ 和 $\max\text{rank}(A)$ 分别为多少?

Remark:

首先, $\min\text{rank}(A)\geqslant 2$, 这是因为

\[
\begin{vmatrix}
2 & p_i\\
p_j & p_k
\end{vmatrix}\neq 0.
\]