问题及解答

令 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 为

\[
f(x)=\begin{cases}
e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}},& x\in(a,b),\\
0, & x\in\mathbb{R}-(a,b).
\end{cases}
\]

证明 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的光滑函数.

鼓包函数有时也称为截断函数. (特别是方程的人喜欢这么称呼.)

当 $x\rightarrow a^{+}$ 时, $\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}\rightarrow -\infty$.

当 $x\rightarrow b^{-}$ 时, $\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}\rightarrow -\infty$.

因此都推出 $f(x)\rightarrow 0$. 因此 $f(x)$ 连续. 我们要证 $f(x)$ 在 $a,b$ 处无穷次可微.

设 $x\in(a,b)$,

\[
f'(x)=\Bigl(e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}}\Bigr)'_{x}=e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}}\cdot\biggl(\frac{-1}{(x-b)^2}+\frac{1}{(x-a)^2}\biggr).
\]

计算 $f(x)$ 在 $a$ 处的右导数.

\[
\begin{split}
f'(a^+)&=\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\
&=\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}}}{x-a}\\
&=\lim_{x\rightarrow a^+}e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}}\cdot\biggl(\frac{-1}{(x-b)^2}+\frac{1}{(x-a)^2}\biggr)\\
&=0.
\end{split}
\]

(注意 $\lim_{t\rightarrow+\infty}t^k e^{-t}=0$.)

类似的, 可计算 $f(x)$ 在 $b$ 处的左导数.

\[
\begin{split}
f'(b^-)&=\lim_{x\rightarrow b^-}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\\
&=\lim_{x\rightarrow b^-}\frac{e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}}}{x-b}\\
&=\lim_{x\rightarrow b^-}e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}}\cdot\biggl(\frac{-1}{(x-b)^2}+\frac{1}{(x-a)^2}\biggr)\\
&=0.
\end{split}
\]

对于 $x\in(a,b)$,

\[
\begin{split}
f''(x)&=(f'(x))'=\Bigl(e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}}\Bigr)'\cdot\biggl(\frac{-1}{(x-b)^2}+\frac{1}{(x-a)^2}\biggr)+e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}}\cdot\biggl(\frac{-1}{(x-b)^2}+\frac{1}{(x-a)^2}\biggr)'\\
&=e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}}\cdot\biggl[\Bigl(\frac{-1}{(x-b)^2}+\frac{1}{(x-a)^2}\Bigr)^2+2(x-b)^{-3}-2(x-a)^{-3}\biggr].
\end{split}
\]

容易验证, $f^{(n)}(x)$ 一定含有 $e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}}$ 因子, 即形如

\[
f^{(n)}(x)=e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}}\cdot Q_n(x),
\]

其中 $Q_n(x)$ 中含有 $(x-b)^{-k}$ 和 $(x-a)^{-k}$. 易证 $f^{(n)}(a)=f^{(n)}(b)=0$.