问题

令 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 为

\[
f(x)=\begin{cases}
e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}},& x\in(a,b),\\
0, & x\in\mathbb{R}-(a,b).
\end{cases}
\]

证明 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的光滑函数.

鼓包函数有时也称为截断函数. (特别是方程的人喜欢这么称呼.)