问题及解答

求

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}[\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-4}+\cdots +\sqrt{n^2-(n-1{)}^2}]$$

[Hint] 用积分

原极限等于

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n-1}\sqrt{1-(\frac{i}{n}{)}^2}$$

考虑函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$, $x\in [0,1]$, 它在 $[0,1]$ 上可积. 因此, 将 $[0,1]$ 作 $n$ 等分, 得

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n-1}\sqrt{1-(\frac{i}{n}{)}^2}\cdot \frac{1}{n}={\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{4}$$