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设 $y_{n} \to a$ , $x_{n} \to a$ , 问 $lim_{n \to \infty} \frac{f (y_{n}) - f (x_{n})}{y_{n} - x_{n}} = f^{'} (a)$ 成立的条件

Posted by haifeng on 2017-04-09 23:26:32 last update 2017-04-10 19:35:12 | Edit | Answers (0)

设 $f (x)$ 是定义在 $a$ 点某开邻域 $U$ 上的实值函数, 且 $f$ 在点 $a$ 处可微. 证明: 如果 $U$ 中的两个点列, $x_{n}$ 递增趋于 $a$ , $y_{n}$ 递减趋于 $a$ , 则有

$lim_{n \to \infty} \frac{f (y_{n}) - f (x_{n})}{y_{n} - x_{n}} = f^{'} (a) .$

应用此结论, 求解极限

$lim_{x \to \infty} x^{4} (\arctan (2 + \frac{3}{x^{2} + 1}) - \arctan (2 + \frac{3}{x^{2} + 2}))$

References:

Paulo Ney de Souza, Jorge-Nuno Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Third Edition. Problem 1.4.21 (Sp91).