设函数 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内二阶可导且在不同点 $x_1, x_2$ 处取得相等的最大值 $M$. 又 $f(a)=g(a)$, $f(b)=g(b)$. 证明: 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f''(\xi)=g''(\xi)$.
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令 $\varphi(x)=f(x)-g(x)$, 则 $\varphi(x)\in C([a,b])$, 且在 $(a,b)$ 内二阶可导. 此外,
$\varphi(a)=f(a)-g(a)=0$, $\varphi(b)=f(b)-g(b)=0$.
根据条件, 不妨设 $f(x_1)=M$ 和 $g(x_2)=M$, 且 $x_1 < x_2$. 于是
$\varphi(x_1)=f(x_1)-g(x_1)=M-g(x_1) > 0$, $\varphi(x_2)=f(x_2)-g(x_2)=f(x_2)-M < 0$, 于是存在 $c\in (x_1,x_2)$, 使得 $\varphi(c)=0$.
在区间 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上, 对函数 $\varphi(x)$ 应用 Rolle 中值定理, 得
$\exists\ \xi_1\in(a,c)$, s.t., $\varphi'(\xi_1)=0$.
$\exists\ \xi_2\in(c,b)$, s.t., $\varphi'(\xi_2)=0$.
函数 $\varphi'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上连续, 在 $(\xi_1,\xi_2)$ 内可导, 应用 Rolle 中值定理, 存在 $\xi\in(\xi_1,\xi_2)$, 使得 $\varphi''(\xi)=0$. 此即 $f''(\xi)=g''(\xi)$.