问题及解答

证明:

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$$

并导出 Machin 公式

References:

梅加强, 《数学分析》Section 9.4, P. 341

$$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

注意到, 对于 $x\in (-1,1)$, 有

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-\cdots +(-1{)}^n{x}^n+\cdots$$

因此

$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+(x^2{)}^2-(x^2{)}^3+(x^2{)}^4-(x^2{)}^5+(x^2{)}^6-\cdots +(-1{)}^n(x^2{)}^n+\cdots$$

这里 $x\in (-1,1)$. 即

$$\frac{1}{1+x^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^{2n}$$

于是在 $(-1,1)$ 上, 使用逐项求积分, 即可得到 $\arctan x$ 的级数表达式.

不妨记 $y=\arctan x$, 则

$$y^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^{2n}$$

两边求不定积分(使用定积分求也是可以的)

$$\begin{array}{rl}y(x)& =\arctan x=\int \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^{2n}dx\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\int x^{2n}dx\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+C\end{array}$$

易见 $C=0$, 因为 $y(0)=\arctan 0=0$. 因此

$$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots$$