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问题及解答

设数列 {an} 满足递推关系 an+2=6an+1an, n0. 初始值 a0=2, a1=10. 证明: an 可以表示为两个自然数的平方和.

Posted by haifeng on 2020-08-31 09:40:12 last update 2020-08-31 09:40:12 | Edit | Answers (1)

设数列 {an} 满足递推关系 an+2=6an+1an, n0. 初始值 a0=2, a1=10. 证明: an 可以表示为两个自然数的平方和.

 

例如: a0=2=12+12, a1=10=12+32.

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Posted by haifeng on 2020-08-31 15:03:20

该递推方程对应的特征方程为

x26x+1=0

解得

x1,2=3±22

所以

an=A1x1n+A2x2n=A1(3+22)n+A2(322)n

这里 A1,A2 为待定常数.

由所给条件 a0=2a1=10, 得

{2=A1+A2,10=A1(3+22)+A2(322).

由第一式, A2=2A1, 代入第二式, 得

10=A1(3+22)+(2A1)(322) 10=(3+22)A1(322)A1+2(322) 10=42A1+642 4=42(A11) A1=1+12

从而 A2=2A1=112.  于是我们得到 an 的表达式,

an=(1+12)(3+22)n+(112)(322)n

注意到

3+22=(2+1)2322=(21)2

an=(1+22)(3+22)n+(122)(322)n=2+22(2+1)2n+222(21)2n=3+22+14(2+1)2n+322+14(21)2n=14[((2+1)2+1)(2+1)2n+((21)2+1)(21)2n]=14[(2+1)2n+2+(2+1)2n+(21)2n+2+(21)2n]=14[((2+1)2n+2+2(2+1)n+1(21)n+1+(21)2n+2)+((2+1)2n2(2+1)n+1(21)n+1+(21)2n)]=14[((2+1)n+1+(21)n+1)2+((2+1)n(21)n)2]=((2+1)n+1+(21)n+12)2+((2+1)n(21)n2)2=An2+Bn2

由上面的计算过程, an 也可以写为

an=((2+1)n+1(21)n+12)2+((2+1)n+(21)n2)2

特别的, 当 n 为偶数时,

An=(2+1)n+1(21)n+12, Bn=(2+1)n+(21)n2. 此时易见 An,Bn 为正整数.

 

n 为奇数时,

An=(2+1)n+1+(21)n+12, Bn=(2+1)n(21)n2. 此时亦可证 An,Bn 为正整数.

总之, 证明了 an 可表示为两个自然数的平方和.