Posted by haifeng on 2020-08-31 09:40:12 last update 2020-08-31 09:40:12 | Edit | Answers (1)
设数列 {an} 满足递推关系 an+2=6an+1−an, n⩾0. 初始值 a0=2, a1=10. 证明: an 可以表示为两个自然数的平方和.
例如: a0=2=12+12, a1=10=12+32.
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Posted by haifeng on 2020-08-31 15:03:20
该递推方程对应的特征方程为
x2−6x+1=0
解得
x1,2=3±22
所以
an=A1x1n+A2x2n=A1⋅(3+22)n+A2⋅(3−22)n
这里 A1,A2 为待定常数.
由所给条件 a0=2 和 a1=10, 得
{2=A1+A2,10=A1⋅(3+22)+A2⋅(3−22).
由第一式, A2=2−A1, 代入第二式, 得
10=A1⋅(3+22)+(2−A1)⋅(3−22)⇒ 10=(3+22)A1−(3−22)A1+2(3−22)⇒ 10=42A1+6−42⇒ 4=42(A1−1)⇒ A1=1+12
从而 A2=2−A1=1−12. 于是我们得到 an 的表达式,
an=(1+12)(3+22)n+(1−12)(3−22)n
注意到
3+22=(2+1)23−22=(2−1)2
故
an=(1+22)(3+22)n+(1−22)(3−22)n=2+22⋅(2+1)2n+2−22⋅(2−1)2n=3+22+14⋅(2+1)2n+3−22+14⋅(2−1)2n=14⋅[((2+1)2+1)⋅(2+1)2n+((2−1)2+1)⋅(2−1)2n]=14⋅[(2+1)2n+2+(2+1)2n+(2−1)2n+2+(2−1)2n]=14⋅[((2+1)2n+2+2(2+1)n+1⋅(2−1)n+1+(2−1)2n+2)+((2+1)2n−2(2+1)n+1⋅(2−1)n+1+(2−1)2n)]=14⋅[((2+1)n+1+(2−1)n+1)2+((2+1)n−(2−1)n)2]=((2+1)n+1+(2−1)n+12)2+((2+1)n−(2−1)n2)2=An2+Bn2
由上面的计算过程, an 也可以写为
an=((2+1)n+1−(2−1)n+12)2+((2+1)n+(2−1)n2)2
特别的, 当 n 为偶数时,
令 An=(2+1)n+1−(2−1)n+12, Bn=(2+1)n+(2−1)n2. 此时易见 An,Bn 为正整数.
当 n 为奇数时,
令 An=(2+1)n+1+(2−1)n+12, Bn=(2+1)n−(2−1)n2. 此时亦可证 An,Bn 为正整数.
总之, 证明了 an 可表示为两个自然数的平方和.