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2. 讨论下列函数的连续性, 若有间断点, 指出其类型.
(2) $f(x)=\dfrac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}$
3. 求函数 $f(x)=\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+x-6}}$ 的连续区间, 并求 $\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x)$.
6. 求下列极限:
(2) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^2-3x-4}{\sqrt{x^4+1}}$
(5) $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+xe^x)^{\frac{x+1}{x}}$ (参见问题2348)
(6) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x^2+x+1}{x^2+x}\Bigr)^{2x^2}$ (参见问题2349)
1
2. (2)
$f(x)$ 的定义域为 $D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0,\pm 1\}=(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$.
$f(x)$ 是其定义域上的连续函数.
(1)
\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow -1}f(x)&=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}\\
&=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x(x-1)}{-x(x+1)(x-1)}\\
&=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{-1}{x+1}\\
&=\infty
\end{split}
\]
故 $x=-1$ 是无穷间断点, 属于第二类间断点.
(2)
\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)&=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{x(x-1)}{-x(x+1)(x-1)}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{-1}{x+1}\\
&=-1
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x(x-1)}{x(x+1)(x-1)}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x+1}\\
&=1
\end{split}
\]
故 $x=0$ 是跳跃间断点, 属于第一类间断点.
(3)
\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow 1}f(x)&=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}\\
&=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x(x-1)}{x(x+1)(x-1)}\\
&=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x+1}\\
&=\frac{1}{2}
\end{split}
\]
故 $x=1$ 是可去间断点, 属于第一类间断点.
2
3.
\[
\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+x-6}}=\sqrt{\frac{(x-2)(x+1)}{(x+3)(x-2)}}
\]
因此, $x$ 应满足
\[
\frac{(x-2)(x+1)}{(x+3)(x-2)}\geqslant 0
\]
这等价于
\[
\begin{cases}
(x+1)(x+3)\geqslant 0,\\
x+3\neq 0,\\
x-2\neq 0.
\end{cases}
\]
函数 $f(x)$ 的定义域为 $D(f)=(-\infty,-3)\cup[-1,2)\cup(2,+\infty)$. 因此其连续区间为 $(-\infty,-3)$, $[-1,2)$, $(2,+\infty)$.
\[
\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{\frac{(x-2)(x+1)}{(x+3)(x-2)}}=\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{\frac{x+1}{x+3}}=\sqrt{\frac{3}{5}}
\]
3
6. (2)
\[
\begin{split}
\text{原式}&=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^4+1}}{x^2}}\\
&=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}\\
&=2
\end{split}
\]