P. 212 习题 5.1
11. 证明下列不等式
(1)
\[
\frac{\pi}{2}\leqslant\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 x}}\mathrm{d}x\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\pi.
\]
13. 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 在开区间 $(0,1)$ 内可导, 且满足
\[3\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(0),\]
证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f'(\xi)=0$.
1
11. (1)
Proof. 对于 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$, $0\leqslant\sin x\leqslant 1$. 于是 $0\leqslant\frac{1}{2}\sin^2 x\leqslant\frac{1}{2}$. 这推出
\[
\begin{split}
&\frac{1}{2}\leqslant 1-\frac{1}{2}\sin^2 x\leqslant 1\\
\Rightarrow\ &\frac{1}{\sqrt{2}}\leqslant\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 x}\leqslant 1\\
\Rightarrow\ &1\leqslant\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 x}}\leqslant\sqrt{2}.
\end{split}
\]
因此,
\[
\frac{\pi}{2}\leqslant\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 x}}\mathrm{d}x\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\pi.
\]
2
13.
Pf. 由积分中值定理, 存在 $\eta\in[\frac{2}{3},1]$, 使得
\[
3\cdot\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=3\cdot f(\eta)\cdot(1-\frac{2}{3})=f(\eta)
\]
于是 $f(0)=f(\eta)$, 由假设 $f(x)$ 在 $[0,\eta]$ 上连续, 在 $(0,\eta)$ 上可导, 故根据 Rolle 中值定理, 存在 $\xi\in(0,\eta)$, 使得 $f'(\xi)=0$.