问题

P. 212  习题 5.1

11.  证明下列不等式

(1) 

\[
\frac{\pi}{2}\leqslant\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 x}}\mathrm{d}x\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\pi.
\]

13.  设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 在开区间 $(0,1)$ 内可导, 且满足

\[3\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(0),\] 

证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f'(\xi)=0$.