问题及解答

矩阵 $A$ 与 $B$ 分别为 $3\times 2$ 和 $2\times 3$ 型矩阵, 已知

\[
A\cdot B=\begin{pmatrix}
8 & 2 & -2\\
2 & 5 & 4\\
-2 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\]

证明:

\[
B\cdot A=\begin{pmatrix}
9 & 0\\
0 & 9\\
\end{pmatrix}
\]

进一步的问题:  如果有整数解, 求出所有的整数解. 

[Hint] 关于两个矩阵乘积的性质, 参考问题1798

题目来源: MOKOOBO 2015年高等数学试卷

https://mp.weixin.qq.com/s/_gu3qpXZ4NeHkbNSyyea6A
 

设

\[
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{pmatrix},\quad
B=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
\end{pmatrix}
\]

则

\[
A\cdot B=\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}\\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} & a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}\\
a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22} & a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
8 & 2 & -2\\
2 & 5 & 4\\
-2 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\]

并设 $BA=\begin{pmatrix}x & y\\ u & v\end{pmatrix}$, 即

\[
B\cdot A=\begin{pmatrix}
b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}+b_{13}a_{31} & b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}+b_{13}a_{32}\\
b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21}+b_{23}a_{31} & b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}+b_{23}a_{32}\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
x & y\\
u & v
\end{pmatrix}
\]

易见 $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$ (这实际上是一般性的结果, 见问题2747), 即有

\[
x+v=8+5+5=18
\]

利用问题1798 中的结论, $|I_3-AB|=|I_2-BA|$, 可推出 $|BA|=81$.

具体的, 经过计算,

\[
|I_3-AB|=\begin{vmatrix}
-7 & -2 & 2\\
-2 & -4 & -4\\
2 & -4 & -4
\end{vmatrix}=64
\]

因此,

\[
\begin{vmatrix}
1-x & -y\\
-u & 1-v
\end{vmatrix}=64.
\]

这推出

\[
\begin{split}
&(1-x)(1-v)-uy=64\\
\Rightarrow\ &1-(x+v)+xv-uy=64\\
\Rightarrow\ &1-18+|BA|=64\\
\Rightarrow\ &|BA|=81.
\end{split}
\]

根据问题1798, $AB$ 和 $BA$ 的特征值除零之外基本相同.

现在, 先求 $AB$ 的特征值

\[
|\lambda I_m-AB|=\begin{vmatrix}
\lambda-8 & -2 & 2\\
-2 & \lambda-5 & -4\\
2 & -4 & \lambda-5
\end{vmatrix}=\lambda\cdot(\lambda-9)^2.
\]

这可以通过直接计算, 也可以通过行列式的初等变换. 比如将 $r_2$ 加到 $r_3$ 上.

\[
\begin{split}
\begin{vmatrix}
\lambda-8 & -2 & 2\\
-2 & \lambda-5 & -4\\
2 & -4 & \lambda-5
\end{vmatrix}&\xlongequal{r_3+r_2}
\begin{vmatrix}
\lambda-8 & -2 & 2\\
-2 & \lambda-5 & -4\\
0 & \lambda-9 & \lambda-9
\end{vmatrix}=(\lambda-9)\cdot
\begin{vmatrix}
\lambda-8 & -2 & 2\\
-2 & \lambda-5 & -4\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}\\
&=(\lambda-9)\Bigl[1\cdot(-1)^{3+2}\cdot\begin{vmatrix}\lambda-8 & 2\\ -2 & -4\end{vmatrix}
+1\cdot(-1)^{3+3}\cdot\begin{vmatrix}\lambda-8 & -2\\ -2 & \lambda-5\end{vmatrix}\Bigr]\\
&=(\lambda-9)\cdot\Bigl[-(-4(\lambda-8)+4)+(\lambda-8)(\lambda-5)-4\Bigr]\\
&=(\lambda-9)\cdot\Bigl[4(\lambda-8)+(\lambda-8)(\lambda-5)-8\Bigr]\\
&=(\lambda-9)\cdot\Bigl[(\lambda-8)(\lambda-1)-8\Bigr]\\
&=(\lambda-9)\cdot(\lambda^2-9\lambda)\\
&=\lambda(\lambda-9)^2
\end{split}
\]

由于 $BA$ 的行列式非零, 故 $BA$ 的两个特征值均为 9.