$v(q)$ 表示 $q$ 的不同的素数因子的个数.
$d(q)$ 表 $q$ 的正除数的个数.
若 $q=p_{i_1}^{s_1}p_{i_2}^{s_2}\cdots p_{i_m}^{s_m}$, 这里 $p_{i_1},\ldots, p_{i_m}$ 是 $q$ 的 $m$ 个不同的素数因子, $s_1,\ldots,s_m$ 分别是这些素数因子的重数. 则 $v(q)=m$,
\[
d(q)=d(p_{i_1}^{s_1})\cdot d(p_{i_2}^{s_2})\cdots d(p_{i_m}^{s_m})=(s_1+1)(s_2+1)\cdots(s_m+1).
\]
引理 1.2 对于正整数 $q$, 存在 $\varepsilon > 0$, 使得
\[
2^{v(q)}\leqslant d(q)\leqslant c_3(\varepsilon)q^{\varepsilon}.
\]
参考 [1] P. 1
References:
[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》数论卷 I
1
为简洁, 设 $q=p_{1}^{\ell_1}p_{2}^{\ell_2}\cdots p_s^{\ell_s}$. (这里 $p_n$ 并不表示第 $n$ 个素数.)
$p_1,\ldots, p_s$ 是 $q$ 的 $s$ 个不同的素因子. 于是 $v(q)=s$.
于是 $2^{v(q)}$ 也就是集合 $\{p_1,\ldots,p_s\}$ 的所有子集的个数, 每个不同的子集对应到 $q$ 的一个除数(即该子集中元素的乘积). 因此, 总有
\[
2^{v(q)}\leqslant d(q).
\]
下面证明 $d(q)$ 可以被 $c(\varepsilon)q^{\varepsilon}$ 所控制.
首先对于素数 $p$, 设 $p > 2^{\frac{1}{\varepsilon}}$, 则 $p^{\varepsilon} > 2$, 于是对于任意正整数 $\ell$,
\[
\frac{d(p^{\ell})}{p^{\ell\varepsilon}}=\frac{\ell+1}{p^{\ell\varepsilon}} < \frac{\ell+1}{2^{\ell}}\leqslant 1.
\]
最后一个不等式可以利用二项展开式证明, $2^{\ell}=(1+1)^{\ell}\geqslant \ell+1$.
又若素数 $p\leqslant 2^{\frac{\ell}{\varepsilon}}$, $\ell\geqslant 1$, 则
\[
\frac{d(p^{\ell})}{p^{\ell\varepsilon}}=\frac{\ell+1}{p^{\ell\varepsilon}}\leqslant\frac{\ell+1}{2^{\ell\varepsilon}}\leqslant\frac{\ell+1}{\ell\varepsilon\ln 2}\leqslant\frac{2}{\varepsilon\ln 2}.
\]
这里第一个不等号是因为 $p\geqslant 2$; 第二个不等号是因为 $f(x)=2^x-x\ln 2$ 在 $[0,\infty)$ 上严格单调递增; 最后一个不等号是因为 $\ell\geqslant 1$.
因此, 对于每个 $p_i^{\ell_i}$, 存在 $\varepsilon_i$, 使得 $p_i\leqslant 2^{\frac{\ell_i}{\varepsilon_i}}$, 取 $\varepsilon=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_s\}$, 则
\[
p_i\leqslant 2^{\frac{\ell_i}{\varepsilon_i}}\leqslant 2^{\frac{\ell_i}{\varepsilon}}
\]
并且
\[
\frac{d(p_i^{\ell_i})}{p_i^{\ell_i \varepsilon}}\leqslant\frac{2}{\varepsilon\ln 2},\qquad\forall\ i=1,2,\ldots,s.
\]
因此,
\[
\frac{d(q)}{q^{\varepsilon}}=\frac{d(p_1^{\ell_1})\cdot d(p_2^{\ell_2})\cdots d(p_s^{\ell_s})}{{p_1}^{\ell_1 \varepsilon}\cdot {p_2}^{\ell_2 \varepsilon}\cdots {p_s}^{\ell_s \varepsilon}}\leqslant(\frac{2}{\varepsilon\ln 2})^s=: c_3(\varepsilon)
\]