问题及解答

设 $a_1=1$, $a_2=\sin a_1=\sin 1$, $a_3=\sin a_2=\sin(\sin 1)$. 一般的, 定义 $a_{n+1}=\sin a_n$, $n=1,2,3,\ldots$.

判定下列级数的敛散性:

(1)  $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln(1+a_n)$.

(2)  $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-a_{n+1})^2$

如此定义的数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是严格递减趋于零的, 见 问题1848 .

于是 $\ln(1+a_n)$ 也是递减趋于零, 由关于交错级数的 Leibniz 判别法则, 知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln(1+a_n)$ 收敛.

(2)

先考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-a_{n+1})$, 其前 $n$ 项和为

\[
S_n=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4)+\cdots+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}=1-a_{n+1},
\]

于是

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-a_{n+1})=1.
\]

即级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-a_{n+1})$ 收敛.  

容易证明 $0 < a_n-a_{n+1} < 1$, 于是

\[
(a_n-a_{n+1})^2 < (a_n-a_{n+1}).
\]

因此, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-a_{n+1})^2$ 也收敛.