Answer

问题及解答

判定下列级数的敛散性.

Posted by haifeng on 2022-10-27 12:41:08 last update 2022-10-27 12:41:08 | Edit | Answers (1)

a1=1, a2=sina1=sin1, a3=sina2=sin(sin1). 一般的, 定义 an+1=sinan, n=1,2,3,.

判定下列级数的敛散性:

(1)  n=1(1)nln(1+an).

 

(2)  n=1(anan+1)2

 

1

Posted by haifeng on 2022-10-27 12:53:44

如此定义的数列 {an}n=1 是严格递减趋于零的, 见 问题1848 .

于是 ln(1+an) 也是递减趋于零, 由关于交错级数的 Leibniz 判别法则, 知级数 n=1(1)nln(1+an) 收敛.

 


(2)

先考虑级数 n=1(anan+1), 其前 n 项和为

Sn=(a1a2)+(a2a3)+(a3a4)++(anan+1)=a1an+1=1an+1,

于是

limnSn=limn(1an+1)=1.

即级数 n=1(anan+1) 收敛.  

容易证明 0<anan+1<1, 于是

(anan+1)2<(anan+1).

因此, 级数 n=1(anan+1)2 也收敛.