Posted by haifeng on 2022-10-27 12:41:08 last update 2022-10-27 12:41:08 | Edit | Answers (1)
设 a1=1, a2=sina1=sin1, a3=sina2=sin(sin1). 一般的, 定义 an+1=sinan, n=1,2,3,….
判定下列级数的敛散性:
(1) ∑n=1∞(−1)nln(1+an).
(2) ∑n=1∞(an−an+1)2
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Posted by haifeng on 2022-10-27 12:53:44
如此定义的数列 {an}n=1∞ 是严格递减趋于零的, 见 问题1848 .
于是 ln(1+an) 也是递减趋于零, 由关于交错级数的 Leibniz 判别法则, 知级数 ∑n=1∞(−1)nln(1+an) 收敛.
(2)
先考虑级数 ∑n=1∞(an−an+1), 其前 n 项和为
Sn=(a1−a2)+(a2−a3)+(a3−a4)+⋯+(an−an+1)=a1−an+1=1−an+1,
于是
limn→∞Sn=limn→∞(1−an+1)=1.
即级数 ∑n=1∞(an−an+1) 收敛.
容易证明 0<an−an+1<1, 于是
(an−an+1)2<(an−an+1).
因此, 级数 ∑n=1∞(an−an+1)2 也收敛.