求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sin(\sin(\cdots(\sin x)))$ ($n$ 次复合函数).
求极限
\[\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sin(\sin(\cdots(\sin x)))\]
($n$ 次复合函数).
若记 $a_1=\sin x$, $a_n=\sin(a_{n-1})$. 即 $a_n=\sin(\sin(\cdots(\sin x)))$, ($n$ 次复合函数). 则证明
\[
\prod_{n=1}^{\infty}\cos a_n
\]
发散.
若记 $d_n=a_n-a_{n+1}$, 则可以证明:
Claim 1. $\{d_n\}$ 严格递减趋于 0.
Claim 2. $\frac{1}{2}d_{n+1} < \sin\frac{d_n}{2}$.
Claim 3. $d_n < \sin d_{n-1}$.
Claim 4. $\frac{d_{n+1}}{d_n} < \cos\frac{d_n}{2}$