设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可微, 且 $f(a)=f(b)=0$. 证明: 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f'(\xi)=2f(\xi)$.
类似的问题见问题2600.
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可微, 且 $f(a)=f(b)=0$. 证明: 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$.
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[分析] 从要证式子出发, 将其变形为 $f'(\xi)-2f(\xi)=0$. 因此, 要找一个函数 $F(x)$, 使得 $F'(x)$ （或其部分）形如 $f'(x)-2(x)$.
考虑函数 $F(x)=e^x f(x)$, 则
\[
F'(x)=e^x f(x)+e^x f'(x)=e^x\bigl[f(x)+f'(x)\bigr].
\]
这启发我们, 当要证明的式子中含有 $f$ 和 $f'$ 的线性组合时, 要想到乘以 $e^{ax}$.
证明. 考虑函数 $F(x)=e^{-2x}f(x)$, 则 $F(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数, 在 $(a,b)$ 内可微,
\[
F'(x)=e^{-2x}(-2)f(x)+e^{-2x}f'(x)=e^{-2x}\bigl[-2f(x)+f'(x)\bigr].
\]
又 $F(a)=F(b)=0$, 因为 $f(a)=f(b)=0$. 因此满足 Rolle 中值定理的条件, 故存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $F'(\xi)=0$. 即有
\[
f'(\xi)=2f(\xi).
\]