问题及解答

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的有界函数, 并且处处二阶可导, 证明: 存在一点 $\xi\in\mathbb{R}$, 使得 $f''(\xi)=0$.

证明: 用反证法. 假设对任意实数 $x$, $f''(x)\neq 0$. 则由达布(Darboux)定理, $f''(x)$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上不变号, 否则由 $f''$ 的值域是一个区间可推出存在某个 $\xi\in\mathbb{R}$, 使得 $f''(\xi)=0$.

不妨设 $f''(x)$ 恒正. 于是 $f'(x)$ 严格单调递增. 因此总存在 $x_0$, 使得 $f'(x_0)\neq 0$.

(1) 若 $f'(x_0) > 0$, 则在区间 $[x_0,x]$ 上应用 Newton-Leibniz 公式, 有

\[
f(x)-f(x_0)=\int_{x_0}^{x}f'(t)\mathrm{d}t\geqslant f'(x_0)(x-x_0),
\]

这推出 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$, 与 $f(x)$ 有界矛盾.

(2) 若 $f'(x_0) < 0$, 则在区间 $[x,x_0]$ 上, 

\[
f(x_0)-f(x)=\int_{x}^{x_0}f'(t)\mathrm{d}t\leqslant f'(x_0)(x_0-x),
\]

这推出 $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$, 与 $f(x)$ 有界矛盾.