问题及解答

定理 (达布Darboux) 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的可导函数, 则 $f'$ 可以取到 $f'_{+}(a)$ 与 $f'_{-}(b)$ 之间的任意值.

换言之, 导函数 $f'(x)$ 的值域是一个区间.

证明: 设 $k$ 是介于 $f'_{+}(a)$ 与 $f'_{-}(b)$ 之间的数.\pause 考虑函数 $g(x)=f(x)-kx$, 则
\[
g'_{+}(a)\cdot g'_{-}(b)=(f'_{+}(a)-k)(f'_{-}(b)-k)\leqslant 0,
\]\pause
如果上式为零, 则 $k$ 等于 $f$ 在 $a$ 或 $b$ 处的导数;\pause 如果上式小于零, 不妨设 $g'_{+}(a)>0$, $g'_{-}(b)<0$, 则 $g$ 在 $a$ 或 $b$ 处取不到最大值, 从而 $g$ 在 $[a,b]$ 的内部某一点 $\xi$ 处取到最大值.\pause 由 Fermat 定理, $g'(\xi)=0$, 即 $f'(\xi)=k$.