割迹(cut locus)
在黎曼流形 $(M,g)$上, 点 $p\in M$ 的割迹(cut locus)通常需指明在切空间还是指该流形上. 切空间中的割迹通过指数映照 $\exp_p$ 在 $M$ 中的像就是该点在流形 $M$ 中的割迹. 具体定义如下:
由于指数映照 $\exp_p:\ T_p M\rightarrow M$ 在较小的范围内(比如 $T_p M$ 中以 $p$ 为中心 $\varepsilon$ 为半径的开球 $\tilde{B}_{\varepsilon}(p)$)是微分同胚. 于是定义 $p$ 在 $T_p M$ 中的割迹为下面的集合
\[
\mathrm{CutLocus}(p):=\{v\in T_p M\mid \gamma(t):=\exp_p(tv), t\in[0,1] \text{是最短测地线}, \text{但对任意}\varepsilon > 0\text{则不再最短}\}.
\]
$p$ 在 $M$ 中的割迹定义为 $\mathrm{CutLocus}(p)$ 在指数映照下的像, 即
\[
\mathrm{cutlocus(p)}:=\{\exp_p(q)\mid q\in\mathrm{CutLocus(p)}\}=\exp_p(\mathrm{CutLocus(p)}).
\]
因此, $\mathrm{cutlocus(p)}$ 中的点具有如下特征: 它们是从 $p$ 出发的最短测地线能够到达的最远的点, 再过去一点点, 测地线就不再是最短的了.
下面简称 $p$ 在 $M$ 中的割迹为 $p$ 的割迹.
将点 $p$ 到其割迹的距离称为 $p$ 处的单射半径(injectivity radius), 记作 $\mathrm{Inj}_p$. 也就是
\[
\mathrm{Inj}_p :=\mathrm{dist}\bigl(p,\mathrm{cutlocus}(p)\bigr).
\]
若记 $\rho=\mathrm{Inj}_p$, 则 $B_{\rho}(p)$ 是 $M$ 中以 $p$ 为中心, 以 $p$ 点处的单射半径为半径的开球. 指数映射在这个开球上是一个微分同胚, 并且 $\rho$ 是使得 $\exp_p:\ \tilde{B}_r(p)\subset T_p M\rightarrow M$ 成为微分同胚的最大的那个 $r$.
定义流形 $M$ 的单射半径(也称全局单射半径或整体单射半径)为
\[
\mathrm{Inj}(M):=\inf_{p\in M}\mathrm{Inj}_p(M).
\]
参考文献