问题及解答

设 $V=\mathbb{R}^{2n}$, 取典范辛形式 $\omega(x,y)=\langle Jx,y\rangle$ , 其中 $x,y\in\mathbb{R}^{2n}$, $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 指欧氏内积. \[ J=\begin{pmatrix} 0 & I_{n}\\ -I_{n} & 0 \end{pmatrix} \]

Remark: 这是辛向量空间仅有的一个例子.

有的书上令

\[ J=\begin{pmatrix} 0 & -I_{n}\\ I_{n} & 0 \end{pmatrix} \]

设 $V=\mathbb{R}^{2n}$, 取典范辛形式 $\omega(x,y)=<Jx,y>$, 其中 $x,y\in\mathbb{R}^{2n}$, 其中 $J$ 令为
\[
J=\begin{pmatrix}
0 & I_{n\times n}\\
-I_{n\times n} & 0
\end{pmatrix}
\]
于是若 $x=(x_1,\ldots,x_{2n})$, $y=(y_1,\ldots,y_{2n})$, 则
\[
\omega(x,y)=y^T Jx=\sum_{i=1}^{n}x_{i+n}y_i-x_i y_{i+n}.
\]