设 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 为所有 $m\times n$ 的实矩阵集合. 任给 $A=(a_{ij})_{mn},B=(b_{ij})_{mn}\in\mathcal{M}_{mn}(R)$, 定义它们之间的距离为
\[d(A,B):=\|A-B\|=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(a_{ij}-b_{ij})^2}\]
验证 $d$ 是 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 上的一个度量, 由此度量诱导了其上的一个拓扑, 从而成为一个拓扑流形.
用 $\mathcal{M}_{mn}^k(R)$ 表示其中秩大于等于 $k$ 的矩阵子集. 证明 $\mathcal{M}_{mn}^k(R)$ 是 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 中的开集, 从而也是流形.
1
对于 $d$, 我们只需验证三角不等式. 我们可以直接证明. 但是我们可以从另一个角度看. 根据 $d$ 的定义, 如果把 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 中的矩阵看成是一个 $m\times n$-维的向量, 具体这 $m\times n$ 个元素如何排成这个向量的不重要, 只要所有这些矩阵以某一固定排法排成 $m\times n$-维向量即可. 于是 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 在这个 $d$ 之下等同于欧氏空间 $\mathbb{E}^{m\times n}=(\mathbb{R}^{m\times n}, d)$ (仍用 $d$ 来表示这个欧氏度量). 因此当然 $d$ 满足三角不等式, 是 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 上的一个度量.
我们也可以直接证明 $d$ 满足三角不等式. 任取实矩阵 $A=(a_{ij})_{mn}$, $B=(b_{ij})_{mn}$, $C=(c_{ij})_{mn}$. 要证 $d(A,C)\leqslant d(A,B)+d(B,C)$, 即
\[\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(a_{ij}-c_{ij})^2}\leqslant\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(a_{ij}-b_{ij})^2}+\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(b_{ij}-c_{ij})^2}.\]
两边平方, 即等价于证明
\[
\begin{split}
\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(a_{ij}-c_{ij})^2&\leqslant\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(a_{ij}-b_{ij})^2+\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(b_{ij}-c_{ij})^2\\
&\quad+2\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(a_{ij}-b_{ij})^2}\cdot\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(b_{ij}-c_{ij})^2}.
\end{split}
\]
由于
\[
\begin{split}
(a_{ij}-c_{ij})^2&=\bigl[(a_{ij}-b_{ij})+(b_{ij}-c_{ij})\bigr]^2\\
&=(a_{ij}-b_{ij})^2+2(a_{ij}-b_{ij})(b_{ij}-c_{ij})+(b_{ij}-c_{ij})^2,
\end{split}
\]
因此, 等价于证明
\[
\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(a_{ij}-b_{ij})(b_{ij}-c_{ij})\leqslant\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(a_{ij}-b_{ij})^2}\cdot\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(b_{ij}-c_{ij})^2},
\]
此式可由 Cauchy-Schwarz 不等式推出.
2
不妨设 $m\leqslant n$, 则 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 中矩阵的秩最多为 $m$. 可以按秩将 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 分成 $m+1$ 个互不相交的子集的并.
\[\mathcal{M}_{mn}(R)=\{O\}\cup\mathcal{M}_1\cup\mathcal{M}_2\cdots\cup\mathcal{M}_m,\]
其中 $\mathcal{M}_k$ 表示 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 中秩为 $k$ 的矩阵子集, $O$ 是零矩阵, 秩为零. 令
\[\mathcal{M}^k_{mn}(R)=\bigcup_{i\geqslant k}\mathcal{M}_i,\]
我们要证明 $\mathcal{M}^k_{mn}(R)$ 是 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 的开子集.
首先回顾一下矩阵秩的概念. $\text{rank}(A)=i$ 当前仅当 $A$ 中存在 $i$-阶非零子行列式, 而且任意 $i+1$ 阶子行列式均为零.
现在任取 $A\in \mathcal{M}^k_{mn}(R)$, 则存在 $k$ 阶非零子行列式, 不妨设这个子行列式为 $A_{(k)}$. $\det(A_{(k)})=d\neq 0$. 取 $\varepsilon > 0$, 对任意 $d(B,A)\leqslant\varepsilon$ 的矩阵 $B$, 设它相应于 $A_{(k)}$ 在 $A$ 中的位置, 有子方阵 $B_{(k)}$, 则
\[\|B_{(k)}-A_{(k)}\|\leqslant\|B-A\| < \varepsilon\]
若取 $\varepsilon$ 足够小, 则可使得 $\det(B_{(k)})\neq 0$, 从而 $\text{rank}(B)\geqslant k$. 这说明 $\mathcal{M}^k_{mn}(R)$ 是 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 的开子集. 而
\[\bigcup_{i < k}\mathcal{M}_i=\bigcup_{i\leqslant k-1}\mathcal{M}_i\]
是闭集.
当然也可以这样来理解, 秩小于 $k$ 的矩阵集合 $\bigcup_{i<k}\mathcal{M}_i$ 实际上是定义在 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 上的一组连续函数零点的集合. 这一组连续函数是指对 $m\times n$ 中任意 $k\times k$ 的子方阵求行列式. 要求均为零. 故 $\{0\}$ 的原像 $\bigcup_{i<k}\mathcal{M}_i$ 是闭集.
参见[1,p.63] 关于 Grassman 流形的论述. Grassman 流形参见问题750.
References:
[1] William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition.