问题

设 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 为所有 $m\times n$ 的实矩阵集合. 任给 $A=(a_{ij})_{mn},B=(b_{ij})_{mn}\in\mathcal{M}_{mn}(R)$, 定义它们之间的距离为

\[d(A,B):=\|A-B\|=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(a_{ij}-b_{ij})^2}\]

验证 $d$ 是 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 上的一个度量, 由此度量诱导了其上的一个拓扑, 从而成为一个拓扑流形.

用 $\mathcal{M}_{mn}^k(R)$ 表示其中秩大于等于 $k$ 的矩阵子集. 证明 $\mathcal{M}_{mn}^k(R)$ 是 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 中的开集, 从而也是流形.