问题及解答

直线段在平面上的位置有几个要素组成. 可以按几种不同的看法来看. 下面我们记 $\Phi$ 为平面上所有直线段的位置所组成的空间.

(1) 设 $A,B\in\mathbb{R}^2$, 我们用 $(A,B)$ 表示从 $A$ 出发到 $B$ 的(有向)线段, 自然 $(A,B)$ 和 $(B,A)$ 表示的是同一线段. 因此在 $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ 中建立等价关系:

\[(A,B)\sim(C,D)\Leftrightarrow A=C,\ B=D;\ \text{或者}\ A=D,\ B=C.\]

于是 $\Phi=\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2/\sim$.

(2) 平面上一条线段也可由一个三元组来刻画, $(A,\theta,r)$. 其中 $A$ 是起始点, $\theta$ 是直线段与平面上取定的某个固定的轴(比如 $x$ 轴)正方向之间的角度, 这里我们认为是 $x$ 轴正方向绕原点旋转直到与该直线段平行所转过的角度, $\theta\in(-\pi,\pi]$. $r$ 是该线段的长度.

当然这种表示法也不是惟一的, 因为线段的两端点都可以作为起始点. 故建立等价关系:

\[(A,\theta,r)\sim(A',\theta',r')\Leftrightarrow A,A'\ \text{为线段的两端点}, \theta'=-\theta,\ r_1=r_2; \text{或者}\ A=A',\ \theta=\theta',\ r=r'.\]

(3) 也可以用点和向量来描述线段的位置. 于是所得到的空间有点像向量丛.

我们用 $(A,\vec{v})$ 来描述线段 $AB$, 其中 $A$ 是起始点, $\vec{v}$ 是起始点至终点决定的向量, 即 $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$. 当然这样的描述也不惟一. 因此也建立等价关系:

\[(A,\vec{v})\sim(B,\vec{w})\Leftrightarrow A=B,\ \vec{v}=\vec{w};\ \text{或者}\ \vec{v}=-\vec{w}=\overrightarrow{AB}.\]

易见, (3) 和 (1) 是等价的. 所不同的是 (3) 可以让我们将 $\Phi$ 想象为一个向量丛. 平面上每一点都有向量“指向外面”, 所有这些“指向外面”的向量的终点都拿过来, 在这一点处形成一个开区域: $\mathbb{R}^2-\overline{B(O,|OA|)}$.

下面请给出这三种模型是光滑流形的证明. 主要是阐述它们能够局部欧氏化.

(3) 和 (1) 本质是一样的. 我们来讨论 (1) 中的模型.

记 $[A,B]$ 为 (1) 中等价关系下的等价类. 则

\[
\begin{split}
\Phi &=\{[A,B]\mid (A,B)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\ \text{且}\ A\neq B\}\\
&\cong\{(A,B)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\mid d(A) < d(B)\}\\
&\cong\{(X,Y)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\mid X=(x_1,x_2), Y=(y_1,y_2), y_2 > 0\}\\
&\cong\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}\times(0,+\infty).
\end{split}
\]

这里 $d(A):=\text{dist}(O,A)$. 其中 $\cong$ 给出了微分同胚, 因此 $\Phi$ 是一个光滑流形.

下面来看 (2), 下面的映射将 $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ 中的点 $(A,B)=(a_1,a_2,b_1,b_2)$ 一一对应到 $\mathbb{R}^2\times(-\pi,\pi]\times(0,+\infty)$ 中的点.

\[(a_1,a_2,b_1,b_2)\mapsto\biggl((a_1,a_2),\arctan\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1},\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}\biggr)\]

而且

\[(b_1,b_2,a_1,a_2)\mapsto\biggl((b_1,b_2),\arctan\frac{a_2-b_2}{a_1-b_1},\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\biggr)\]

因此这自然给出了 $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2/\sim_1$ 与 $\mathbb{R}^2\times(-\pi,\pi]\times(0,+\infty)/\sim_2$ 的一个同胚.