证明: 平面上所有直线段的位置所组成的空间是一个光滑流形.
直线段在平面上的位置有几个要素组成. 可以按几种不同的看法来看. 下面我们记 $\Phi$ 为平面上所有直线段的位置所组成的空间.
(1) 设 $A,B\in\mathbb{R}^2$, 我们用 $(A,B)$ 表示从 $A$ 出发到 $B$ 的(有向)线段, 自然 $(A,B)$ 和 $(B,A)$ 表示的是同一线段. 因此在 $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ 中建立等价关系:
\[(A,B)\sim(C,D)\Leftrightarrow A=C,\ B=D;\ \text{或者}\ A=D,\ B=C.\]
于是 $\Phi=\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2/\sim$.
(2) 平面上一条线段也可由一个三元组来刻画, $(A,\theta,r)$. 其中 $A$ 是起始点, $\theta$ 是直线段与平面上取定的某个固定的轴(比如 $x$ 轴)正方向之间的角度, 这里我们认为是 $x$ 轴正方向绕原点旋转直到与该直线段平行所转过的角度, $\theta\in(-\pi,\pi]$. $r$ 是该线段的长度.
当然这种表示法也不是惟一的, 因为线段的两端点都可以作为起始点. 故建立等价关系:
\[(A,\theta,r)\sim(A',\theta',r')\Leftrightarrow A,A'\ \text{为线段的两端点}, \theta'=-\theta,\ r_1=r_2; \text{或者}\ A=A',\ \theta=\theta',\ r=r'.\]
(3) 也可以用点和向量来描述线段的位置. 于是所得到的空间有点像向量丛.
我们用 $(A,\vec{v})$ 来描述线段 $AB$, 其中 $A$ 是起始点, $\vec{v}$ 是起始点至终点决定的向量, 即 $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$. 当然这样的描述也不惟一. 因此也建立等价关系:
\[(A,\vec{v})\sim(B,\vec{w})\Leftrightarrow A=B,\ \vec{v}=\vec{w};\ \text{或者}\ \vec{v}=-\vec{w}=\overrightarrow{AB}.\]
易见, (3) 和 (1) 是等价的. 所不同的是 (3) 可以让我们将 $\Phi$ 想象为一个向量丛. 平面上每一点都有向量“指向外面”, 所有这些“指向外面”的向量的终点都拿过来, 在这一点处形成一个开区域: $\mathbb{R}^2-\overline{B(O,|OA|)}$.
下面请给出这三种模型是光滑流形的证明. 主要是阐述它们能够局部欧氏化.