问题及解答

证明: 群 $SO(3)$ 同胚于射影空间 $\mathbb{R}P^3$. 请构造微分同胚.

Hint: 将群 $SO(3)$ 的元素表示为空间绕某个轴旋转某个角.

$SU(2)$ 中的矩阵形如

\[
u=\begin{pmatrix}z_1 & z_2\\ -\overline{z_2} & \overline{z_1}\end{pmatrix},\quad |z_1|^2+|z_2|^2=1.
\]

证明是直接的, 参见问题793的答案.

从而 $SU(2)$ 同胚于 $\{(z_1,z_2)\mid |z_1|^2+|z_2|^2=1\}$ 即 $S^3$. 又 $SU(2)$ 中的 $\pm u$ 对应到 $SO(3)$ 中的一个矩阵, 具体如何对应参见问题793的答案.

因此 $SO(3)$ 同胚于 $S^3$ 粘合对径点后的集合, 即 $\mathbb{R}P^3$.