球面上的度量
记 $S^n=\{(x^1,\ldots,x^{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\mid \sum_{i=1}^{n+1}(x^i)^2=1\}$, 包含映射 $i:S^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+1}$ 是一个嵌入. 试在 $S^n$ 的局部坐标系中把 $i^*g_0$ 表达出来, 此处 $g_0=\sum_{i=1}^{n+1}dx^i\otimes dx^i$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上的标准度量.
Hint:
比较简单的办法是通过变换直接将度量张量计算出来.
另一种比较笨的办法是通过切映射将度量张量计算出来.
令 $U=S^n-\{(0,\ldots,0,-1)\}$, $V=S^n-\{(0,\ldots,0,1)\}$.
考虑球极投影:
\[
\begin{array}{rcl}
\varphi_U:\ U&\rightarrow&\mathbb{R}^n\\
(x^1,\ldots,x^n,x^{n+1})&\mapsto&\Bigl(\frac{x^1}{1+x^{n+1}},\ldots,\frac{x^n}{1+x^{n+1}}\Bigr)=:(u^1,\ldots,u^n)
\end{array}
\]
从而经过计算得到
\[
i^*g_0=\frac{4}{\bigl(1+\sum_{i=1}^{n}(u^i)^2\bigr)^2}\sum_{i=1}^{n}du^i\otimes du^i.
\]