问题

其实我不是想问问题 ，我是想做笔记，请问怎么做笔记在这个网站？？\\ 设 $N\subset M$ 是 $m$ 维 Riemann 流形 $M$ 的 $n$ 维子流形，$\nabla$ 是$M$ 上的 Levi-Civita 联络，$\phi :N\times (-\epsilon ,\epsilon)\rightarrow M$ 是 $N$ 的一个单参数形变族，记 $N_t=\phi (N,t)$，且我们要求 $N_0=N$ 以保证 $\phi $ 是一个变分. 设 $X,Y\in \Gamma (TM)$ 是 $M$ 上的光滑向量场，定义 $$-B(X,Y)=\nabla _XY-\nabla ^t_XY$$ 以及 $$H=\mathrm{Tr}B(X,Y)$$ 称作 $N$ 的平均曲率向量. 称作子流形 $N$ 的第二基本形式，其中 $\nabla ^t_XY=(\nabla _XY)^t$ 是 $\nabla _XY$ 的切方向. $N$ 上带有从 $M$ 上诱导得到的 Riemann 度量 $g=\phi ^*\tilde{g}$，这里 $\tilde{g}=g_{ij}dx^idx^j$ 是 $M$ 的 Riemann 度量，而 $\{x^1,\cdots ,x^m\}$ 是 $M$ 的局部坐标系. 现设 $\{x^1,\cdots ,x^n\}$ 是 $N$ 的 $p\in N$ 附近的局部坐标系， 可以考虑 $\{x^1,\cdots ,x^n,t\}$ 是 $(p,0)\in N\times (-\epsilon ,\epsilon)$ 附近的局部坐标系. 令 $e_i=d\phi (\frac{\partial }{\partial x^i})$ 以及 $T=d\phi (\frac{\partial }{\partial t})$. 我们用\r $$J(p,t)=dA_t=\sqrt {g(p,t)}dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n$$ 来记 $N_t$ 的面积元，为了求面积的变分，我们来计算 $J$ 对 $t$ 的导数： \begin{equation} \begin{split} J\'(t)&=\frac{\partial }{\partial t}\sqrt {g(p,t)}dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n\\ &=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{g(p,t)}}\frac{\partial g(p,t)}{\partial t}dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n\\ &=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{g(p,t)}}G_{ij}(p,t)\frac{\partial g_{ij}(p,t)}{\partial t}dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n\\ &=\frac{1}{2}g^{ij}(p,t)\frac{\partial g_{ij}(p,t)}{\partial t}J, \end{split} \end{equation} 进而r \begin{equation} \begin{split} J\'=g^{ij}\langle \nabla _Te_i,e_j\rangle J. \end{split} \end{equation} 根据 Levi-Civita 联络的无挠性，则\r \begin{equation} \begin{split} J\'&=g^{ij}\langle \nabla _{e_i}T,e_j\rangle J\\ &=g^{ij}\langle \nabla _{e_i}T^t,e_j\rangle J+g^{ij}\langle \nabla _{e_i}T^n,e_j\rangle J\\ &=\mathrm{div}(T^t)J+g^{ij}e_i\langle \nabla T^n,e_j\rangle J-g^{ij}\langle T^n,\nabla _{e_i}e_j\rangle J\\ &=\mathrm{div}(T^t)J+\langle T^n,H\rangle J . \end{split} \end{equation} 所以面积的第一变分公式为\r \begin{equation} \begin{split} \frac{d}{dt}A(N_t)=\int_N\langle T^n,H\rangle . \end{split} \end{equation} 将 $t=0$ 代入，则得r \begin{equation} \begin{split} \frac{d}{dt}A(N_t)|_{t=0}=\int_N\langle T^n,H\rangle . \end{split} \end{equation} 所以子流形的平均曲率向量为零当且仅当子流形是面积函数的临界点，这样的流形称作极小的.