Pisot 数的逼近性质
本文译自
Vilmos Komornik, Paola Loreti and Marco Pedicini, An Approximation Property of Pisot Numbers. Journal of Number Theory 80, 218-237 (2000).
设 $q > 1$. 在 P. Erdös 等人[2]的启发下, 人们研究下面这些数.
\[
\ell^m(q):=\inf\{y\ :\ y\in\Lambda_m,\ y\neq 0\},\quad m=1,2,\ldots
\]
其中
\[
\Lambda_m:=\{y\mid y=\varepsilon_0+\varepsilon_1 q+\varepsilon_2 q^2+\cdots +\varepsilon_n q^n \},
\]
这里 $n$ 是任意大于等于零的整数. 系数 $\varepsilon_i$ 都是整数, 取值范围限定为 $-m\leqslant\varepsilon_i\leqslant m$,
已证明
\[
q\ \text{是 Pisot 数}\Leftrightarrow \ell^m(q) > 0,\quad\forall\ m.
\]
References:
[1] P. Erdös, I. Joo, and V. Komornik, Characterization of the unique expansion $1=\sum q^{-n}$ and related problems, Bull. Soc. Math. France 118 (1990), 377-390.