问题

解下面的 ODE 方程组

\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dfrac{di}{dt}&=&\lambda si-\mu i,\\
\dfrac{ds}{dt}&=&-\lambda si,\\
s(t)+i(t)+r(t)&=&1,\\
i(0)&=&i_0,\\
s(0)&=&s_0,\\
r(0)&=&0.
\end{array}\right.
\]

可以先解出

\[
s(t)=s_0 e^{-\sigma r(t)},
\]

这里 $\sigma:=\frac{\lambda}{\mu}$. 从而有

\[
\frac{dr}{dt}=\mu(1-r-s_0 e^{-\sigma r}).
\]

References:

姜启源、谢金星、叶俊 编 《数学模型》（第四版）P.140