关于凹函数的 Grüss-Barnes 不等式
设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 证明
\[
\int_0^1 f^2(x)\mathrm{d}x\leqslant\frac{4}{3}\biggl(\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\biggr)^2
\]
这个结论最初是由 G. Grüss 证明的([1],[2]). 他实际上证明了
设 $f$ 和 $g$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 则有
\[
\int_0^1 f(x)g(x)\mathrm{d}x\leqslant\frac{4}{3}\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\int_0^1 g(x)\mathrm{d}x.
\]
一般的有 (参见[2])
设 $f$ 和 $g$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数
（1）若 $p,q\geqslant 1$, 则
\[
\int_0^1 f(x)g(x)\mathrm{d}x\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}(q+1)^{1/q}}{6}\|f\|_p\|g\|_q.
\]
（2）若 $0 < p,q\leqslant 1$, 则
\[
\int_0^1 f(x)g(x)\mathrm{d}x\leqslant\frac{(p+1)^{1/p}(q+1)^{1/q}}{3}\|f\|_p\|g\|_q.
\]
设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 则有
\[
\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}}{2}\|f\|_p,\quad\forall\ p\geqslant 1.
\]
Remark:
(i) 上面的（1）可从其 $p=q=1$ 的特殊情况和上面的 Favard 不等式直接推出. [2]
(ii) 上面的（2）也可从其 $p=q=1$ 的特殊情况和上面的 Favard 不等式直接推出?? [2]
(1) 和 (2) 在 $p=q=1$ 的情形首先是由 Grüss 证明的[1].
(1) 的关于 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 的情形是由 Bellman 证明的[3].
(1) 和 (2) 的一般情形由 Barnes 证明[4].
因此我们将 (1) 和 (2) 称为 Grüss-Barnes 不等式.
Borell 观察到, (1)式右边在添加了一些边界项后依然成立.
命题 [Borell 不等式] 设 $f,g$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数. 若 $p,q\geqslant 1$, 则
\[
\int_0^1 f(x)g(x)\mathrm{d}x\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}(q+1)^{1/q}}{6}\|f\|_p\|g\|_q+\frac{f(0)g(0)+f(1)g(1)}{6}.
\]
Grüss-Barnes 不等式的推广
命题. 设 $f_1,f_2,\ldots,f_n$ 是定义在 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 令 $p_k\geqslant 1$, $(k=1,2,\ldots,n)$. 则
\[
C_n\int_0^1 \prod_{k=1}^{n}f_k(x)\mathrm{d}x\geqslant\prod_{k=1}^{n}(p_k+1)^{1/p_k}\|f_k\|_{p_k},
\]
这里
\[
C_n=\frac{(n+1)!}{\bigl[\frac{n}{2}\bigr]!\bigl[\frac{n+1}{2}\bigr]!}.
\]
假设 $I$ 和 $I'$ 是指标集合, 满足 $I\cup I'=\{1,2,\ldots,n\}$, 并且 $I$ 和 $I'$ 中有一个包含 $[\frac{n}{2}]$ 个元素. 则当 $f_k(x)=x$, $k\in I$ 且 $f_k(x)=1-x$, $k\in I'$ 时, 上面不等式中的等号成立.
这个结果由 Borell, Godunova 和 Levin 独立发现. 甚至此命题更早地由 Nehari 证明, 但是其中 $C_n$ 被一个错误的常数 $D_n=\dfrac{(n+1)!}{([n/2]!)^2}$ 所替代.
更一般的结果是:
1933年, Favard 证明了: 设 $f_k(x)$ 是 $[a,b]$ 上的非负连续凹函数, 则有
\[
\int_a^b\biggl(\prod_{k=1}^{n}f_k(x)\biggr)\mathrm{d}x\leqslant\frac{2^n}{n+1}\cdot\frac{1}{(b-a)^{n-1}}\prod_{k=1}^{n}\int_a^b f_k(x)\mathrm{d}x.
\]
Berwald's inequality.
设 $f$ 是区间 $I=[0,a]$ 上的一个非负连续凹函数(concave function), 且设 $0
\[
\biggl(\frac{1}{a}\int_0^a f^p(x)\mathrm{d}x\biggr)^{\frac{1}{p}}\leqslant\frac{(1+r)^{1/r}}{(1+p)^{1/p}}\biggl(\frac{1}{a}\int_0^a f^r(x)\mathrm{d}x\biggr)^{\frac{1}{r}}
\]
References:
[1] G. Grüss, Über das Maximum des absoluten Betrages von $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x-\frac{1}{(a-b)^2}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$, Math. Z. 39(1935), 215-226.
[2] L. Maligranda, J. E. Pecaric, L. E. Persson, On some Inequalities of the Grüss-Barnes and Borell Type. Journal of Mathematical Analysis and Applications 187, 306-323 (1994).
[3] R. Bellman, Converses of Schwarz's inequality, Duke Math. J.23(1956), 429-434.
[4] D. C. Barnes, Some complements of Hölder's inequality, J. Math. Anal. Appl. 26 (1969), 82-87.
[5] C. Borell, "Inverse Inequalities for Concave or Generalized Concave Functions." Research Report No. 44, Dept. of Math. Uppsala University, 1972.
Books:
匡继昌 《常用不等式》 P.444 (Andersson 不等式)
Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson, CONVEX FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS, A contemporary approach, September 16, 2004.
J. Favard, Sur les valeurs moyennes. Bull. Sci. Math., 57 (1933), pp. 54-64.
这里的内容主要来源于文章 [2].