问题

Favard 不等式

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 则有

\[
\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}}{2}\|f\|_p,\quad\forall\ p\geqslant 1.
\]

这里

\[\|f\|_p=\biggl(\int_0^1 f^p(x)\mathrm{d}x\biggr)^{\frac{1}{p}}.\]

References:

J. Favard, Sur les valeurs moyennes. Bull. Sci. Math., 57 (1933), pp. 54-64.