问题

Weibull 分布是由瑞典物理学家 Waloddi Weibull 于1939年引进的.

他的1951年的一篇文章 "A Statistical Distribution Function of Wide Applicability"(J. Applied Mechanics, vol. 18: 293--297) 中讨论了一些应用.

定义: 

A random variable $X$ is said to have a Weilbull distribution with parameters $\alpha$ and $\beta$ ($\alpha > 0$, $\beta > 0$) if the pdf of $X$ is

\[
f(x;\alpha,\beta)=\begin{cases}
\frac{\alpha}{\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-(\frac{x}{\beta})^{\alpha}}, & x\geqslant 0,\\
0, & x < 0
\end{cases}
\]

与之十分相近的是 $\Gamma$-分布(Gamma distribution). 回顾其 pdf 定义为

\[
f_2(x;\alpha,\beta)=\begin{cases}
\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}, & x\geqslant 0,\\
0, & x < 0
\end{cases}
\]

令 Weibull 分布和 $\Gamma$-分布中的参数 $\alpha=1$, $\lambda=\frac{1}{\beta}$, 我们都可以得到指数分布(exponential distribution)

\[
f(x;\lambda)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x\geqslant 0,\\
0, & x < 0.
\end{cases}
\]

也就是说, 指数分布同是 $\Gamma$-分布和 Weibull 分布的特殊情形. 但是, 存在 $\Gamma$-分布, 其不属于 Weibull 分布; 也存在 Weibull 分布, 不属于 $\Gamma$-分布.

对于所定义的 Weibull 分布, 证明其 cdf 为

\[
F(x;\alpha,\beta)=\begin{cases}
1-e^{-(\frac{x}{\beta})^{\alpha}}, & x\geqslant 0,\\
0, & x < 0.\\
\end{cases}
\]

Prop. 若 $X$ 是服从 Weibull 分布的随机变量, 则其均值和方差为

\[
\begin{eqnarray}
\mu=E(X)&=&\beta\cdot\Gamma(1+\frac{1}{\alpha})\\
\sigma^2=V(X)&=&\beta^2\cdot\biggl[\Gamma(1+\frac{2}{\alpha})-\Bigl(\Gamma(1+\frac{1}{\alpha})\Bigr)^2\biggr]
\end{eqnarray}
\]