问题

P. 230  习题 5.3

1.  求下列定积分

(9)   

\[
\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}\frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm{d}x
\]

3.  用分部积分法求下列定积分.

(7)

\[
\int_{0}^{\sqrt{3}}\ln(x+\sqrt{1+x^2})\mathrm{d}x
\]

6.  证明下列各等式.

(3)  设 $a > 0$, $f(x)$ 在 $[0,a]\cup[0,a^2]$ 上可积, 则有

\[
\int_{0}^{a}x^3 f(x^2)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{0}^{a^2}xf(x)\mathrm{d}x.
\]