求定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x\ln(\cos x)}{\tan x}\mathrm{d}x$.
求定积分
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x\ln(\cos x)}{\tan x}\mathrm{d}x.\]
Remark: 题目来源于同事陶文清.
这道题的正确解答参见这里的第三个解答. 涉及多个知识点. 是很好的一道习题. 这个反常积分, 用通常的换元法、分部积分法都不好算. 甚至也暂时想不到是否能用复变函数的方法（即利用留数定理计算实变函数的积分）.
解答中需要用到无穷级数、常微分方程等.