设 $m,n\in\mathbb{Z}^+$, 证明 $(2^m-1,2^n-1)=2^{(m,n)}-1$.
设 $m,n$ 是正整数, 证明 $(2^m-1,2^n-1)=2^{(m,n)}-1$.
一般的, 对于正整数 $a,m,n$, 有
\[
(a^m-1, a^n-1)=a^{(m,n)}-1.
\]
[Hint] 使用辗转相除法证明.
求 $(m,n)$ 的过程和求 $(2^m-1, 2^n-1)$ 的过程是一致的.
Question: 考虑 $(a^m-1, b^n-1)$, 这里 $a,b$ 是大于1的正整数.